G ´ Equation de Debye

G Équation de Debye

Dans un diélectrique, on écrit l’induction électrique

D = e0E + P

(G.40)

où est le vecteur polarisation qui traduit l’influence du champ électrique sur les constituants du milieu. Ce phénomène est lié au déplacement des charges positives et négatives et permet au milieu d’emmagasiner de l’énergie, fournie par le champ électrique. Il existe plusieurs types de polarisations possibles dans un milieu, comme les polarisations par charge d’espace (accumulations de charges), dipolaire (orientation des molécules polaires avec le champ électrique), ionique (séparation des ions positifs et négatifs de la molécule) ou électronique (déplacement du nuage électronique par rapport au noyau). La polarisabilité par charge d’espace varie avec la fréquence dans le domaine des basses fréquences, les polarisabilité ionique et électronique variant respectivement dans les infrarouges et les ultraviolets. C’est la polarisabilité dipolaire, ou polarisation d’orientation, qui varie dans le domaine des ondes hyperfréquences et que je vais décrire dans ce qui suit.

Une molécule asymmétrique, comme par exemple la molécule d’eau, va présenter un dipôle permanent même en l’absence de champ extérieur. On parle alors de molécule polaire. Sans champ électrique extérieur, les molécules sont organisées de sorte que le moment dipolaire global soit nul. Lors de l’application d’un champ électrique extérieur, les dipôles vont s’orienter le long du champ.

Lors de l’application d’un champ électrique variable, soit le mécanisme de polarisation arrive à suivre les variations du champ et alors les dipôles sont en phase avec le champ, soit il existe un déphasage entre et . Lorsque les dipôles sont en phase avec le champ électrique, c’est à dire que ||, on a

P = xee0E

(G.41)

soit

D = e0(1+ xe)E (G.42) = e0erE (G.43) = eE (G.44)

où _e est la susceptibilité électrique du milieu et est la permittivité du milieu qui est une grandeur réelle. Dans le domaine des hyperfréquences, les mécanismes de polarisation qui seront en phase avec le champ électrique sont les polarisations ionique et électronique pour lesquels le régime est similaire au régime statique. Par contre, l’orientation des molécules polaires (i.e. la polarisation dipolaire) va subir un temps de relaxation par rapport à à cause des forces engendrées par les interactions entre les molécules qui s’opposent à la rotation. Dans ce cas, dans l’expression (G.44) n’est plus réel et sa partie imaginaire traduit le déphasage entre et . On exprime alors l’induction électrique sous la forme

integral t D(t) = e E(t)+ f(x)E(t- x)dx oo 0

(G.45)

où est une constante réelle qui résulte des mécanismes de polarisation en phase avec , et f(x) (t - x) est la contribution du champ à l’instant t - x.

Si le champ est de la forme (A.8), (G.45) devient

integral t D(t) = e oo E(t) + E(0).exp [j(wt± k.r)] f(x)exp[- jwx]dx (G.46) 0 = e(w)E(t) (G.47)

et on a

integral t e(w) = e oo + f(x)exp [- jwx]dx. 0

(G.48)

Si l’on suppose que t est grand et que la fonction f(x) tend vers 0 à t = , alors l’intégrale est la tranformée de Fourier de f(x). Si l’on suppose que la décroissance de l’influence du champ électrique est une loi exponentielle avec un temps de relaxation _r, de sorte que f(x) = f₀ exp[ -t/], et que l’on pose comme limite basse et haute fréquence

e(0) = es et (G.49) e( oo ) = e oo , (G.50)

alors on obtient la loi de Debye [18] suivante

-es--e oo - e(w) = e oo + 1+ jw/wr,

(G.51)

où _r = 1/.

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