A.1 Solution des quations de Maxwell

A.1 Solution des équations de Maxwell

Pour déterminer l’expression du champ électrique, on applique l’opérateur $\~/$ ×à (A.2) et l’on obtient

\~/ × ( \~/ × E) = -m @( \~/ -×-H) @t

(A.5)

En utilisant la propriété

\~/ × ( \~/ × E) = \~/ .( \~/ .E) - \~/ 2E

(A.6)

où $\~/$ ^. est l’opérateur divergence ou gradient selon qu’il est appliqué respectivement à un champ vectoriel ou scalaire et en supposant que le milieu est homogène et vide de charges libres, de sorte que (A.4) est vérifiée on obtient l’équation homogène en champ électrique

[ ] 2 @2E @E \~/ E = m e@t2-+ s-@t .

(A.7)

On a alors comme solution satisfaisant l’équation homogène (A.7), l’expression complexe du champ électrique

E(r,t) = E(0).exp[j(wt ± k.r)]

(A.8)

où (0) est un vecteur constant, est la pulsation du champ électrique, t est le temps et est le vecteur d’onde dont la norme k (i.e. le nombre d’onde) est définie par

V ~ ---------- k = wV ~ m(e - js/w) (A.9) k = w mec (A.10)

où l’on a défini la constante diélectrique du milieu par

ec = (e- js/w).

(A.11)

On notera que la permittivité _c, et par conséquent le nombre d’onde, d’un milieu à pertes par conduction est complexe à cause du terme en j/. On vera dans la section G que peut aussi être complexe, traduisant des pertes liée au mécanismes de polarisation du milieu. On parle alors de constante diélectrique. On peut déduire de même des equations de Maxwell (A.1) et (A.2) que

H(r, t) = H(0).exp[j(wt± k.r)].

(A.12)

On dérive les champs électrique et magnétique réels des solutions complexes (A.8) et (A.12) à partir des relations

-E---> (r,t) = Re{ E(0).exp[j(wt ± k.r)]} (A.13) r´eel = E(0).cos(wt ± k.r) et (A.14) -----> { } Hre´el(r,t) = Re H(0).exp[j(wt± k.r)] (A.15) = H(0).cos(wt± k.r). (A.16)

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