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H Décomposition en série de Fourier

Toute fonction réelle périodique f(t) de période P peut se décomposer sous la forme:

[ ( ) ( )] f(t) = a0+ S oo a cos 2pn t- + b sin 2pn t- , 2 n=1 n P n P
(H.52)

où a0 , an et bn sont des réels, les coefficients de Fourier. Ils sont donnés par

integral 2- P a0 = P 0 f (t)dt, (H.53) 2 integral P ( t ) an = -- f (t)cos 2pn -- dt, (H.54) P integral 0 ( P) b = 2- Pf (t)sin 2pn t- dt. (H.55) n P 0 P

On peut remarquer que le premier terme de la série, a0/2, représente la valeur moyenne de f(t) sur une période. Pour le cas du spectre de mer, on pose t = f0, P = 2p et on dérive de (H.52)

Y(k, f0) = Y0(k,f0)+ S oo n=1 [Yn(k,f0) cos(nf0) +Y*nsin(nf0)],
(H.56)

où

Y0(k,f0) = a0/2 integral (H.57) 1-- 2p = 2p 0 Y(k,f0) df0 (H.58) 1 integral 2p Yn(k,f0) = -- Y(k,f0) cos(nf0) dt, (H.59) p integral 02p Y* (k,f0) = 1- Y(k,f0) sin(nf0) dt. (H.60) n p 0

Y(k, f0 ) étant symmétrique par rapport à la direction du vent, donc en f0, elle est décomposé uniquement sur une base de fonctions paires, c’est à dire sur les cos(nf0). On en déduit Yn*(k,f0) = 0 quelque soit n.

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