6.2.3 Epaisseur d’atmosphre traverse en incidence normale et oblique

6.2.3 Epaisseur d’atmosphère traversée en incidence normale et oblique

Les expressions (6.10) et (6.12) nous donnent respectivement l’épaisseur optique et la température de brillance en un point de l’atmosphère en fonction de l’épaisseur traversée. Si le point observé par le radiomètre se trouve au nadir, alors l’épaisseur d’atmosphère traversée est z, l’altitude où se situe le radiomètre. Si l’angle d’incidence n’est pas nul (i.e. le radiomètre est en incidence oblique), l’épaisseur d’atmosphère traversée est supérieure à z.

Je vais déterminer l’épaisseur d’atmosphère traversée par un onde émise au point O situé sur la surface terrestre et reçue au point M situé à l’altitude z et dans la direction (qui est l’angle d’incidence) par rapport à la normale à la surface au point O (voir figure 6.4).

FIG. 6.4:

Epaisseur d’atmosphère L traversée par une onde avec un angle d’incidence

On pose R t 6370 km, le rayon terrestre, , l’angle au centre de la Terre entre le point O et le point M et L l’épaisseur d’atmosphère recherchée.

FIG. 6.5:

Géométrie du calcul de l’épaisseur d’atmosphère

La figure 6.5 représente la géométrie du problème précédemment énoncé. On connait Rt, z, ' = -. On ne connait ni ni L que l’on cherche. Pour éliminer du problème, on va utiliser la règle des cosinus qui nous dit que

L2 = R2t + (Rt + z)2- 2Rt(Rt + z)cosb, (6.13)

et la règle des sinus nous dit que

Rt-+-z -L-- sin h' = sinb . (6.14)

En écrivant que sin² + cos² = 1, il vient

z4 + 4R z3 +[4R2 -2L2]z2 + [-4R L2]z t 2t2 2 ' 4 t2 2 + [4RtL sin h + L - 4L R t] = 0 (6.15) L4 + [- 2((Rt + z)2 +R2t- 2R2t sin2h')]L2 + [4Rtz3 + 4R2tz2 + z4] = 0 (6.16)

On résoud numériquement 6.15 ou 6.16 au choix, selon que l’on veuille passer de l’épaisseur L à l’altitude z ou vice versa. On obtient pour L(z,) deux solutions positives (et deux solutions négatives car le polynôme est d’ordre 4), dont une est rejetée car elle impose un rayon passant par l’intérieur de la Terre (c’est la plus grande solution pour L).

La variation de l’épaisseur d’atmosphère traversée en fonction de l’altitude, pour plusieurs angles est illustrée sur la figure 6.6. Cette variation est toujours linéaire, sauf pour le cas extrême de l’incidence rasante (i.e. = 90^o). Plus l’angle d’incidence est élevé, plus l’épaisseur d’atmosphère traversée pour une altitude donnée est grande. L’épaisseur atmosphérique traversée est, pour une atmosphère supposée atteindre une altitude de l’ordre de 18 km, au plus de 100 km pour l’essentiel des angles d’incidence. Pour le cas extrême = 90^o, cette épaisseur peut atteindre 500 km. Ce cas nécessite que l’angle d’élévation soit de l’ordre de 70^o pour un satellite, et de plus de 80^o pour un avion (voir l’annexe M). En prenant en compte la largeur de lobe des différents instruments (environ 1^o pour SMOS et 15^o pour le STARRS, voir la section 7.1.2.2), de telles élévations ont une contribution négligeable dans le cas de SMOS, et ont rarement une contribution sensible dans le cas des campagnes aéroportées.

FIG. 6.6:

Épaisseur d’atmosphère traversée suivant différents angles d’incidences

Pour un radiomètre en visée oblique, on remplace dz' dans (6.10) et (6.12) par dL(z',), l’épaisseur d’atmosphère élémentaire à une altitude z et à une incidence . On a ainsi, pour un theta donné, les expression suivantes

integral t(z,z ) = L(z2,h)k (z')dL(z',h) (6.17) 1 2 L(z1,h) e

integral -t(0,z) L(z,h) ' ' -t(z',z) ' Tb(z) = Tb(0)e + 0 ke(z )T (z)e dL(z,h) (6.18)

pour respectivement l’épaisseur optique et la température de brillance en incidence oblique.

Si l’atmosphère s’étend d’une altitude z₀ = 0 à une altitude z_lim, alors on définit l’épaisseur optique totale par l’expression suivante

integral L(zlim.,h) ' ' t0 = 0 ke(z )dL(z ,h).

(6.19)

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