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5.2.1 Principe de la méthode d’inversion

La température de brillance Tb est la variable mesurée, avec une incertitude sT dépendant des caractéristiques de l’instrument (voir la section 3.1), et que l’on cherche à inverser en SSS. On a pour cela, à un angle d’incidence et une polarisation donnés,
Tb = f(SST,SSS,U )

où la SST et U sont des variables exogènes estimées avec des incertitudes respectives sSST et sU et f est la fonction étudiée dans le chapitre 4. On a alors, dans le cas d’une restitution de la SSS à partir d’une seule mesure de Tb,

SSS = g(SST,U,Tb),

où g = f-1 est la fonction inverse de f.

On définit un point (SSS)0 = g((SST)0,(U)0,(Tb)0) autour duquel on va linéariser la fonction g par un développement de Taylor. On détermine ainsi le point SSS = g(SST,U,Tb) par

|_ SST - (SST) _| SSS = (SSS) + M . |_ U - (U) 0 _| , 0 T - (T 0) b b 0

d’où

|_ _| DSST DSSS = M . |_ DU _| , DTb

où DSSS = SSS - (SSS)0, DSST = SST - (SST)0, DU = U - (U)0, DTb = Tb - (Tb)0 et

M = [@g/@SST,@g/@U,@g/@Tb]

.

On peut alors déterminer sSSS, l’incertitude sur la SSS inversée, à partir des incertitudes sSST, sU et sT . On suppose que la SST, U et Tb sont des variables aléatoires indépendantes, ce qui nous donne la matrice de covariance suivante

( ) s2SST 0 0 G= 0 s2U 0 . 0 0 s2T

On obtient ainsi, d’après l’annexe N,

( s2 0 0 ) s2 = M . SS0T s2 0 .Mt SSS 0 U0 s2 T

soit

( ) |_ _| 2[ ] s2SST 0 0 @g/@SST sSSS= @g/@SST @g/@U @g/@Tb . 0 s2U 0 . |_ @g/@U _| . 0 0 s2T @g/@Tb

On a donc l’expression suivante pour l’incertitude sur la SSS inversée à partir de variables aléatoires indépendantes

V~ (-----)2-------(----)2-----(----)2----- sSSS = -@g-- s2SST + @g- s2U + -@g- s2T. @SST @U @Tb

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