On area and volume in spherical and hyperbolic geometry

Sur l'aire et le volume en géométrie sphérique et hyperbolique

Elena Frenkel (1)

1 IRMA - Institut de Recherche Mathématique Avancée

Our aim is to prove sorne theorems in hyperbolic geometry based on the methods of Euler, Schubert and Steiner in spherical geometry. We give the hyperbolic analogues of sorne trigonometrie formulae by method of variations and an a rea formula in terms of sides of triangles, both due to Euler in spherical case. We solve Lexell's problem. This is a joint work with Weixu Su. We give a shorter formula than Euler's a rea formula. Using hyperbolic analogues of Cagnoli's identities, we prove two classical results in hyperbolic geometry. Further, we give solutions of Schubert's and Steiner's problems. The study of Schubert's problem is a joint work with Vincent Alberge. Finally, following ideas of Norbert A' Campo, we give the sketch of the proof of Schlafli formula using integral geometry. The mentioned theorems can be generalized to the case of dimension 3 partially by means of the techniques used developed in this the sis.

L'objet de ce travail est de prouver des théorèmes de géométrie hyperbolique en utilisant des méthodes développées par Euler, Schubert et Steiner en géométrie sphérique. On donne des analogues hyperboliques de certaines formules trigonométriques en utilisant la méthode des variations et une formule pour l'aire d'un triangle. Euler utilisa cette idée en géométrie sphérique.On résout ensuite le problème de Lexell en géométrie hyperbolique. Cette partie est basée sur un travail en collaboration avec Weixu Su. En utilisant l'analogue hyperbolique des identités de Cagnoli, on prouve deux résultats classiques en géométrie hyperbolique. Ensuite, on donne les solutions aux problèmes de Schubert (en collaboration avec Vincent Alberge) et de Steiner. En suivant les idées de Norbert A'Campo, on donne l'ébauche de la preuve de la formule de Schlafli en utilisant la géométrie intégrale. Cette recherche peut être généralisée partiellement au cas de la dimension 3.

Mots clés: Area; Volume; Hyperbolic geometry; Spherical geometry; Lexell’s problem; Euler’s area formula; Schubert’s problem; Schläfli formula

Mots clés: Aire; Géométrie hyperbolique; Géométrie sphérique; Problème de Lexell; Formule de l’aire d’Euler; Problème de Schubert; Formule de Schläfli

Domaines: Géométrie différentielle [math.DG]

Elena Frenkel. On area and volume in spherical and hyperbolic geometry. Differential Geometry [math.DG]. Université de Strasbourg, 2018. English. ⟨NNT : 2018STRAD028⟩. ⟨tel-01872314v2⟩