On area and volume in spherical and hyperbolic geometry
Sur l’aire et le volume en géométrie sphérique et hyperbolique
Résumé
Our aim is to prove some theorems in hyperbolic geometry based on the methods of Euler, Schubert and Steiner in spherical geometry. These theorems, interesting for their own right, exhibit a way to adapt methods of proofs from spherical to hyperbolic geometry.
We give the hyperbolic analogues of trigonometric formulae for right triangles by method of variations and an area formula in terms of sides of triangles, both due to Euler in spherical case. We solve Lexell’s problem which is to find the geometric locus of the third vertices of triangles with a given base and area. This is a joint work with Weixu Su. As next, we give a shorter formula than Euler’s area formula. We use hyperbolic analogues of Cagnoli’s identities to prove two classical geometric results in hyperbolic geometry. Further, we give solutions of Schubert’s and Steiner’s problems: the former is to find the extrema of area for triangles with a fixed base and altitude, the latter is to find the extrema of isoperimetric triangles with a given base. The study of Schubert’s problem is a joint work with Vincent Alberge. Finally, following ideas of Norbert A’Campo, we give the sketch of the proof of Schläfli formula using integral geometry.
The mentioned theorems can be generalized to the case of dimension 3 partially by means of the techniques used and developed in this thesis. This leads to an open research area.
L’objet de ce travail est de prouver des théorèmes de géométrie hyperbolique en utilisant des méthodes développées par Euler, Schubert et Steiner en géométrie sphérique. Ces théorèmes présentent une manière d’adapter des méthodes de géométrie sphérique à la géométrie hyperbolique.
Nous commençons par donner des analogues hyperboliques de formules trigonométriques pour les triangles rectangles en utilisant la méthode des variations et une formule pour l’aire d’un triangle qui ne fait intervenir que les longueurs des trois côtés. Euler utilisa cette idée en géométrie sphérique. Nous résolvons ensuite le problème de Lexell en géométrie hyperbolique, un problème qui consiste à trouver le lieu géométrique des troisièmes sommets des triangles dont la base et l’aire sont préalablement fixées. Cette partie est basée sur un travail en collaboration avec Weixu Su. Nous continuons ensuite par donner une formule pour l’aire d’un triangle qui est plus courte que celle d’Euler.
Ensuite, on donne l’analogue hyperbolique des identités dites de Cagnoli. Ces identités nous permettrons de prouver deux résultats classiques en géométrie hyperbolique. Nous poursuivons par donner les solutions aux problèmes de Schubert et de Steiner. Le premier problème consiste à trouver les triangles d’aire extrémale où la base et la hauteur sont fixées ; tandis que le deuxième problème consiste à trouver les extrema d’aire des triangles de mêmes périmètres dont la base est donnée. L’étude du problème de Schubert est basée sur un travail en collaboration avec Vincent Alberge.
En suivant les idées de Norbert A’Campo, nous finissons par donner l’ébauche de la preuve de la formule de Schläfli en utilisant la géométrie intégrale.
Les théorèmes mentionnés et les problèmes abordés dans cette thèse peuvent être généralisés au cas de la dimension 3 en utilisant, au moins partiellement, des techniques similaires. Ceci est d’ailleurs un domaine ouvert dans la recherche actuelle.
Origine : Fichiers produits par l'(les) auteur(s)
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