Geometric and functional inequalities
Inégalités géométriques et fonctionnelles
Résumé
This thesis is mostly about the Blaschke-Santalo inequality, which states that among centered convex bodies, the Euclidean has the largest volume product (namely the product of the volume of the set by that of its polar). Several authors (Ball; Artstein, Klartag and Milman; Fradelizi and Meyer) were able to derive functional inequalities from this inequality. The purpose of this thesis is to give direct proofs of these functional Santalo inequalities. This provides new proofs of Santalo, some of which are very simple.
The last chapter is about Gaussian chaoses. We obtain a sharp bound for moments of Gaussian chaoses due to Latala, using Talagrand's generic chaining.
The last chapter is about Gaussian chaoses. We obtain a sharp bound for moments of Gaussian chaoses due to Latala, using Talagrand's generic chaining.
La majeure partie de cette thèse est consacrée à l'inégalité de Blaschke-Santalo, qui s'énonce ainsi: parmi les corps convexes centrés en 0, la boule euclidienne maximise le produit volumique (c'est-à-dire le produit du volume du corps par celui de son polaire). Il existe des versions fonctionnelles de cette inégalité, découvertes par plusieurs auteurs (Ball; Artstein, Klartag et Milman; Fradelizi et Meyer), mais elles sont toutes dérivées de l'inégalité ensembliste. L'objet de cette thèse est de proposer des démonstrations directes de ces inégalités fonctionnelles. On obtient ainsi de nouvelles preuves de l'inégalité de Santalo, parfois très simples.
Le dernier chapitre est un peu à part et concerne le chaos gaussien. On démontre une majoration précise des moments du chaos gaussien, due à Latala, par des arguments de chaînage à la Talagrand.
Le dernier chapitre est un peu à part et concerne le chaos gaussien. On démontre une majoration précise des moments du chaos gaussien, due à Latala, par des arguments de chaînage à la Talagrand.