J.1 Définition des coordonnées locales

FIG. 7.35: Repère local d’une vague de grande échelle. Les vecteurs , et forment la base du repère terrestre. Le vecteur est dans la direction du vent. Les vecteurs , et définissent le repère local. Le vecteur est normal à la surface de la vague. Le vecteur est contenu dans le plan formé par les vecteurs et - et est définit de sorte que les vecteurs , et forment une base orthonormée.

Les coordonnées locales sont attachées à la surface d’une vague de grande échelle. On définit l’axe zénithal local d’une vague comme étant la normale à la surface de la vague (voir la figure 7.35). Je vais déterminer l’expression des vecteurs , et dans le repère terrestre (i.e. dans la base (, , )).

FIG. 7.36: Schéma d’une vague et des pentes Sx et Sy respectivement dans les et .

On représente la surface d’une vague qui a des pentes S_x = -Z/X et S_y = -Z/Y respectivement le long de et de (voir la figure 7.36), par l’equation suivante

On déduit de (J.70) l’équation de la normale à la surface de la vague, qui est définie par ||S où

soit, d’après les définitions de S_x et de S_y

Le vecteur étant normalisé, on a

où || S|| est la norme de S donnée par

Il vient alors

Comme par définition = , on a aussi

Il faut définir et pour avoir une base locale (, , ) complète. Le vecteur du repère terrestre est définit comme étant dans la direction du vent. On définit alors comme étant dans le plan formé par les vecteurs et - (et comme étant dans le plan de la vague), ce qui fait de la direction de symétrie des vagues de petite échelle superposées à la vague de grande échelle. On écrit ainsi sous la forme

De plus, la base (, , ) étant définie comme orthonormée, les relations suivantes doivent être vérifiées