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O Résolution de systèmes linéaires

Soit le système linéaire

( ) y1 ( ) y2 x1 ... = A . x2 . y x3 n
(O.120)

où les y1 , y2 , ..., yn sont les mesures, qui sont des variables aléatoires indépendantes et normalisées de sorte que toutes les variances soient égales à 1. Les inconnues sont x1, x2 et x3. Pour résoudre le système,

on calcule At . A, qui est une matrice 3x3,
on détermine ses trois valeurs propres notées c12, c22, c32 et ses trois vecteurs propres normés v 1, v 2 , v 3 ,
on calcule les trois vecteurs
1 uj = c-.A .vj j
(avec j = 1 à 3).

On déduit la matrice U (34 lignes x 3 colonnes), constituée des trois vecteurs colonnes u1, u2, u3, et la matrice V (3 lignes x 3 colonnes), constituée des trois vecteurs colonnes v1,v2, v3. On a alors

-1 t x = V ./\ .U y
(O.121)

où

|_ _| |_ c1 0 0 _| /\ = 0 c2 0 0 0 c3
(O.122)

et donc

|_ _| 1/c1 0 0 /\ -1 = |_ 0 1/c2 0 _| . 0 0 1/c3
(O.123)

Pour calculer l’erreur sur la x, on écrit

x = Dy.
(O.124)

On a alors, d’après (N.119), la matrice de covariance de x suivante

' C = D .C .D
où C = Id est la matrice de covariance de y et Id est la matrice identité. On a, d’après (O.121),
D = V .c-1 .Ut
d’où l’on déduit
Dt = U .c-1 .Vt.

Comme U . Ut = Id, on obtient

C'= V .c-2 .Vt
avec
|_ 1/c2 0 0 _| /\ -2 = |_ 0 1 1/c2 0 _| . 0 02 1/c2 3
(O.125)

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