Algebraic structures associated to double shuffle relations between multiple polylogarithm values at roots of unity
Structures algébriques associées aux relations de double mélange entre valeurs polylogarithmes multiples aux racines de l'unité
Résumé
Racinet attached to each finite cyclic group $G$ and group embedding $\iota : G \to \mathbb{C}^{\times}$ a $\mathbb{Q}$-scheme $\mathsf{DMR}^{\iota}$ which describes the double shuffle and regularization relations between multiple polylogarithm values at $N$\textsuperscript{th} roots of unity where $N$ is the order of $G$. He also exhibited a group scheme $\mathsf{DMR}_0^G$, which Enriquez and Furusho identified with the stabilizer of a coproduct element arising in Racinet's formalism with respect to the action of the group $\mathcal{G}$ of grouplike elements of a non-commutative series Hopf algebra, equipped with the “twisted Magnus” product. We reformulate Racinet's construction in terms of crossed products. Racinet's coproduct can then be identified with a coproduct $\widehat{\Delta}^{\mathcal{M}, \mathrm{DR}}_G$ defined on a module $\widehat{\mathcal{M}}_G^{\mathrm{DR}}$ over an algebra $\widehat{\mathcal{W}}_G^{\mathrm{DR}}$, which is equipped with its own coproduct $\widehat{\Delta}^{\mathcal{W}, \mathrm{DR}}_G$. We show that there are compatible group actions of a semidirect product involving $\mathcal{G}$ on $\widehat{\mathcal{M}}_G^{\mathrm{DR}}$ and $\widehat{\mathcal{W}}_G^{\mathrm{DR}}$. This yields an explicit stabilizer group scheme containing $\mathsf{DMR}_0^G$, which we also express in the Racinet formalism.
Furthermore, for $G=\{1\}$, Enriquez and Furusho showed that a subscheme $\mathsf{DMR}^{\iota}_{\times}$ of $\mathsf{DMR}^{\iota}$ is a torsor isomorphisms relating “de Rham” and “Betti” objects. In the second part of this work we define the main ingredients for a generalization of this result to any finite cyclic group $G$: we exhibit a module $\widehat{\mathcal{M}}_N^{\mathrm{B}}$ over an algebra $\widehat{\mathcal{W}}_N^{\mathrm{B}}$ (where $N$ is the order of $G$) and we prove the existence of a two compatible coproducts $\widehat{\Delta}^{\mathcal{W}, \mathrm{B}}_N$ and $\widehat{\Delta}^{\mathcal{M}, \mathrm{B}}_N$ on $\widehat{\mathcal{W}}_N^{\mathrm{B}}$ and $\widehat{\mathcal{M}}_N^{\mathrm{B}}$ respectively such that $\mathsf{DMR}^{\iota}_{\times}$ is contained in the torsor of isomorphisms relating $\widehat{\Delta}^{\mathcal{W}, \mathrm{B}}_N$ (resp. $\widehat{\Delta}^{\mathcal{M}, \mathrm{B}}_N$) to $\widehat{\Delta}^{\mathcal{W}, \mathrm{DR}}_G$ (resp. $\widehat{\Delta}^{\mathcal{M}, \mathrm{DR}}_G$).
Les travaux de Racinet ont permis d'associer à tout groupe cyclique fini $G$ et à toute injection de groupes $\iota : G \to \mathbb{C}^{\times}$, un $\mathbb{Q}$-sch\'ema $\mathsf{DMR}^{\iota}$ décrivant les relations de double mélange et régularisation entre valeurs polylogarithmes multiples aux racines $N$\textsuperscript{ième} de l'unité, avec $N$ l'ordre de $G$. Il a aussi exhibé un $\mathbb{Q}$-schéma en groupes $\mathsf{DMR}_0^G$ que les travaux d'Enriquez et Furusho ont permis d'identifier au stabilisateur d'un coproduit intervenant au sein du formalisme de Racinet pour l'action du groupe $\mathcal{G}$ des éléments diagonaux d'une algèbre de Hopf de séries non commutatives munie du produit de Magnus tordu. On reformule les constructions de Racinet en termes de produit croisé. Le coproduit de Racinet peut alors être identifié avec un coproduit $\widehat{\Delta}^{\mathcal{M}, \mathrm{DR}}_G$ défini sur un module $\widehat{\mathcal{M}}_G^{\mathrm{DR}}$ sur une algèbre $\widehat{\mathcal{W}}_G^{\mathrm{DR}}$, munie de son propre coproduit $\widehat{\Delta}^{\mathcal{W}, \mathrm{DR}}_G$. On construit des actions compatibles d'un produit semi-direct faisant intervenir $\mathcal{G}$ sur $\widehat{\mathcal{M}}_G^{\mathrm{DR}}$ et $\widehat{\mathcal{W}}_G^{\mathrm{DR}}$. On aboutit alors à un schéma en groupes stabilisateur contenant $\mathsf{DMR}_0^G$ que l'on exprime au sein du formalisme de Racinet.
Par ailleurs, pour $G=\{1\}$, Enriquez et Furusho montrent qu'un sous-schéma $\mathsf{DMR}^{\iota}_{\times}$ de $\mathsf{DMR}^{\iota}$ est un torseur d'isomorphismes mettant en relation des objets << de Rham >> avec des objets << Betti >>. Dans la seconde partie de ce travail, on définit les ingrédients principaux pour une généralisation de ce résultat à tout groupe cyclique fini $G$ : on exhibe un module $\widehat{\mathcal{M}}_N^{\mathrm{B}}$ sur une algèbre $\widehat{\mathcal{W}}_N^{\mathrm{B}}$ ($N$ étant l'ordre de $G$) et on démontre l'existence de deux coproduits compatibles $\widehat{\Delta}^{\mathcal{W}, \mathrm{B}}_N$ et $\widehat{\Delta}^{\mathcal{M}, \mathrm{B}}_N$ sur $\widehat{\mathcal{W}}_N^{\mathrm{B}}$ et $\widehat{\mathcal{M}}_N^{\mathrm{B}}$ respectivement tels que $\mathsf{DMR}^{\iota}_{\times}$ est contenu dans le torseur des isomorphismes reliant $\widehat{\Delta}^{\mathcal{W}, \mathrm{B}}_N$ (resp. $\widehat{\Delta}^{\mathcal{M}, \mathrm{B}}_N$) à $\widehat{\Delta}^{\mathcal{W}, \mathrm{DR}}_G$ (resp. $\widehat{\Delta}^{\mathcal{M}, \mathrm{DR}}_G$).
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