Extreme value statistics of stochastic processes : from Brownian motion to active particles
Statistique d'extrêmes des processus : du mouvement brownien aux particules actives
Résumé
Rare extreme events tend to play a major role in a wide range of contexts, from finance to climate. Hence, understanding their statistical properties is a relevant task, which opens the way to many applications. In this thesis, we investigate the extremal properties of several stochastic processes, including Brownian motion (BM), active particles, and BM with resetting. In the first part, we investigate the times at which extrema of one-dimensional stochastic processes occur. In particular, in the case of a BM of fixed duration, we compute the probability distribution of the time between the global maximum and the global minimum. Moreover, we derive the distribution of the time of the maximum for stationary stochastic processes, both at equilibrium and out-of-equilibrium. This analysis leads to the formulation of a simple criterion to detect nonequilibrium fluctuations in steady states.In the second part, we focus on the run-and-tumble particle (RTP) model. We compute exactly the survival probability for a single RTP in d dimensions, showing that this quantity is completely universal, i.e., independent of d and the speed fluctuations of the particle. We extend this universality to other observables (time of the maximum and records) and generalized RTP models. Moreover, we also investigate the position distribution of a single RTP at late times. We show that, under certain conditions, a condensation transition can be observed in the large-deviation regime where the particle is far from its starting position. Finally, we introduce a new technique, analog to the Hamilton-Jacobi-Bellman equation, to optimally control a dynamical system through stochastic resetting.
Bien que rares, les événements extrêmes peuvent jouer un rôle majeur dans un large éventail de situations, de la finance au climat. Dans cette thèse, nous étudions les propriétés extrêmes de plusieurs processus stochastiques, dont le mouvement brownien (MB), les particules actives et le MB avec réinitialisation.Dans la première partie, nous étudions les instants auxquels les extrema des processus stochastiques unidimensionnels se produisent. En particulier, dans le cas d'un MB de durée fixée, nous calculons la distribution de probabilité du temps entre le maximum global et le minimum global. De plus, nous dérivons la distribution du temps du maximum pour une classe de processus stochastiques stationnaires, à la fois à l'équilibre et hors d'équilibre. Cette analyse conduit à la formulation d'un critère simple pour détecter des fluctuations hors d'équilibre dans les états stationnaires.Dans la deuxième partie, nous nous concentrons sur le modèle de particules dit " run-and-tumble particle " RTP). Nous calculons exactement la probabilité de survie pour une RTP dans un espace à d dimensions, montrant que cette quantité est complètement universelle, c'est-à-dire indépendante de d et des fluctuations de vitesse de la particule. Nous étendons cette universalité à d'autres observables et à certains modèles RTP généralisés. De plus, nous étudions également les grandes déviations de la position d'une RTP. Nous montrons que, sous certaines conditions, une transition de condensation est observée dans le régime de grandes déviations où la particule est éloignée de sa position de départ. Enfin, nous introduisons une nouvelle technique, analogue à l'équation de Hamilton-Jacobi-Bellman, pour contrôler de manière optimale un système dynamique à travers des redémarrages.
Origine : Version validée par le jury (STAR)