Norms on the contactomorphisms group and contactification of starshaped domains, their geodesics and their translated characteristics

Normes sur le groupe des contactomorphismes et contactisation de domaines étoilés, leurs géodésiques et leurs caractéristiques translatées

Pierre-Alexandre Arlove (1)

1 IRMA - Institut de Recherche Mathématique Avancée

We study different norms on the contactomorphisms group of a contact manifold. For all integer $n$ not smaller than one, using generating function techniques, we determine some geodesics of the group of compactly supported contactomorphisms of $\mathbb{R}^{2n}\times S^1$ endowed with its standard contact structure. We compute explicitely the norm of a big family of contactomorphisms of the unitary cotangent of the torus using an intersection property of exact lagrangian with the 0-section. Finally we study the characteristic distribution of hypersurface contained in the contactification of an exact symplectic manifold. It allows us to associate to open domain of such contact manifold a set of values. This set of values contains contact invariants and generalize the spectrum of an open domain in an exact symplectic manifold.

Nous étudions différentes normes sur le groupe des contactomorphismes d'une variété de contact. Pour tout entier $n$ plus grand que $1$, grâce à la technique des fonctions génératrices, nous caractérisons certaines géodésiques du groupe des contactomorphismes à support compact de $\mathbb{R}^{2n}\times S^1$ que l'on munit de sa structure de contact standard. Nous calculons explicitement la norme d'une grande famille de contactomorphismes du cotangent unitaire du tore en utilisant un théorème d'intersections de lagrangiennes exactes du cotangent avec la section nulle. Enfin nous étudions la distribution caractéristique des hypersurfaces contenues dans la contactisation d'une variété symplectique exacte. Cela nous permet de définir un ensemble de valeurs pour les ouverts de la variété de contact considérée. Cet ensemble de valeurs contient des invariants de contact et généralise la notion du spectre d'un ouvert d'une variété symplectique exacte.

Mots clés: contactomorphisms; bi-invariant metric; conjugation invariant norm; contact manifold; symplectic manifold; generating function; characteristic foliation

Mots clés: contactomorphismes; métrique bi-invariante; norme invariante par conjugaison; variété de contact; variété symplectique; distribution caractéristique

Domaines: Géométrie différentielle [math.DG]

Pierre-Alexandre Arlove. Normes sur le groupe des contactomorphismes et contactisation de domaines étoilés, leurs géodésiques et leurs caractéristiques translatées. Géométrie différentielle [math.DG]. Université de Strasbourg, 2021. Français. ⟨NNT : ⟩. ⟨tel-03700704v1⟩