Proofs as games and games as proofs: dialogical semantics for logic and natural language.
Les preuves vues comme des jeux et réciproquement : sémantique dialogique de langages naturels ou logiques.
Résumé
This thesis is situated at the intersection of several disciplines: on the one hand,
mathematical logic and theoretical computer science, on the other hand, natural language
processing and formal semantics of natural language. The thread tying these
topics together is the constant use of tools and methodologies of proof theory and the
philosophical problem that motivated our thesis: what are the links between the notion
of proof and that of linguistic meaning? More concretely, we study formal proofs
systems. in these systems proofs are seen as winning strategies for two-player games.
In the games one player, called the Proponent, tries to construct a justification for a certain
statement while the other, the Opponent, tries to refute this statement. Our thesis
is composed of three parts, each part containing a maximum of three chapters.
The first part is preparatory. In the two chapters that compose it we present the mathematical
tools used in our thesis as well as the philosophical question that underlie
our research.
The second part consists of two long chapters and presents the central proof-theoretical
results of our thesis. In the first chapter of this part we present a dialogical logic system
for classical first order logic. We show that, given a formula A, A is a logical theorem
if and only if there is a proponent winning strategy for A. Dialogical logic systems for
classical first-order logic have existed since the 1960’s. However there is no convincing
proof of this result in the literature. In the second chapter of this second part we
present a denotational semantics for the constructive variant of the modal logic K. Our
denotational semantics is a game semantics: the proofs of modal logic are interpreted
by winning strategies for two-player games. We show that our game semantics has a
remarkable property; it is ’fully complete’: every winning strategy is the interpretation
of a proof of modal logic.
The third and last part of our thesis consists of three chapters. Each chapter is devoted
to an application of proof theory to the semantics of natural language. In the
first chapter, we study the relationship between the categorical syntactic analyses of
a sentence and the logical representations of the sentence. We show that, when certain
conditions are met, the function that transforms syntactic analyses of a sentence
into logical representations is injective. In the second chapter of this third part, we use
our dialogical logic system, together with type logical grammars, to solve textual entailment
problems. In the last chapter of this section we present a formal system for
the resolution of anaphora and ellipsis. This problem is usually addressed by model theoretic
methods. We, on the contrary, present a solution based on proof theory. We
develop a dialogical logic system in which anaphora and ellipsis can be solved in a
simple way.
In the conclusion, we sketch possible future developments of our research. Both
from a mathematical and logical point of view and from the point of view of natural
language applications.
Notre travail de thèse se situe au carrefour de plusieurs disciplines : d’une part, la
logique mathématique et l’informatique théorique, d’autre part le traitement automatique
du langage naturel et plus particulièrement la sémantique formelle du langage
naturel. Le fil conducteur est la présence constante des méthodes logiques issues de la
théorie de la preuve et par le problème philosophique qui a motivé notre thèse : quels
sont les liens entre la notion de preuve et celle de signification linguistique ou logique
? Plus concrètement, nous étudions des systèmes formels dont les preuves sont vues
comme des stratégies gagnantes pour des jeux à deux joueurs. Dans ces jeux, un jouer,
appelé Proposant, essaye de construire une justification pour un certain énoncé tandis
que l’autre, l’Opposant, essaye de construire une réfutation de cet énoncé.
La thèse est composée de trois parties, chaque partie contenant deux ou trois chapitres.
La première partie est propédeutique. Dans les deux chapitres qui la composent
nous présentons les outils mathématiques utilisés dans notre thèse ainsi que les principes
logiques et philosophiques qui ont guidés nos travaux, notamment la sémantique
inférentialiste.
La deuxième partie de notre thèse contient deux longs chapitres, lesquels présentent
les résultats de théorie de la démonstration qui constituent le cœur de notre thèse. En
particulier, dans le premier chapitre de cette partie, nous définissons précisément un
système de logique dialogique pour la logique classique du premier ordre avec termes.
Nous montrons que, pour une formule A, l’existence d’une stratégie gagnante pour A
équivaut au fait que A est un théorème logique. Bien que des systèmes de logique
dialogique pour la logique classique du premier ordre existent depuis les années 1960
il n’existait pas à ce jour de preuve convaincante publiée de ce résultat, notamment
en présence de termes. Dans le deuxième chapitre de cette deuxième partie, nous présentons
une sémantique dénotationnelle pour la variante constructive de la logique
modale K. En particulier notre sémantique dénotationnelle est une sémantique des
jeux dans laquelle les preuves de la logique modale sont interprétées par des stratégies
gagnantes pour des jeux à deux jouer. Nous montrons que notre sémantique possède
une propriété remarquable : elle est ‘pleinement adéquate’ (fully complete) c’est-à-dire
que toute stratégie gagnante est l’interprétation d’au moins une preuve de la logique
modale.
La troisième et dernière partie se compose de trois chapitres, chacun étant consacré
à une application de nos travaux en théorie de la démonstration à la sémantique
du langage naturel. Dans le premier chapitre, nous étudions le rapport entre les analyses
syntaxiques catégorielles d’une même phrase et les représentations sémantiques
logiques de la phrase analysée. Nous montrons que, lorsque certaines conditions sont respectées, la fonction qui transforme les analyses syntaxiques d’une phrase en représentations
logiques est injective. Dans le deuxième chapitre de cette troisième
partie, nous appliquons notre système de logique dialogique à la résolution au problème
de la reconnaissance d’inférences en langage naturel en utilisant un analyseur
syntaxique et sémantique catégoriel. Dans le dernier chapitre de cette partie, nous présentons
un système formel pour la résolution d’anaphore et ellipses, problème généralement
abordé par des méthodes de théorie des modèles. Nous, au contraire, présentons
une solution basée sur la théorie de la démonstration, en développant un système
de logique dialogique qui permet de résoudre simplement les anaphores et les ellipses.
Dans la conclusion, nous faisons le bilan de notre travail de thèse et essayons de
décrire les développements futurs possibles de notre recherche, tant du point de vue
mathématique et logique que du point de vue des applications au langage naturel.
Origine : Fichiers produits par l'(les) auteur(s)