Fatou-Julia dichotomy and non-uniform hyperbolicity for holomorphic endomorphisms on $\mathbb{P}^2(\mathbb{C})$
Dichotomie de Fatou-Julia et hyperbolicité non uniforme pour endomorphismes holomorphes sur $\mathbb{P}^2(\mathbb{C})$
Résumé
This thesis deals with two different aspects (polynomial skew products and post-ctitically finite endomorphisms) of holomorphic dynamics on projective plane $\mathbb{P}^2$. It contains the following three papers:
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\par {\bf \Rmnum{1}. Non-wandering Fatou components for strongly attracting polynomial skew products.} (Published in {\em The Journal of Geometric Analysis}.) We prove a generalization of Sullivan's non-wandering domain theorem for polynomial skew products on $\mathbb{C}^2$. More precisely, we show that if $f$ is a polynomial skew product with an invariant vertical line $L$, assume $L$ is attracting and moreover the corresponding multiplier is sufficiently small, then there is no wandering Fatou component in the attracting basin of $L$.
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\par {\bf \Rmnum{2}. Non-uniform hyperbolicity in polynomial skew products.} (Submitted for publication.) We show that if $f$ is a polynomial skew product with an attracting invariant vertical line $L$, assume the restriction of $f$ on $L$ satisfies one of the following non-uniformly hyperbolic condition: 1. $f|_L$ is topological Collet-Eckmann and Weakly Regular, 2. the Lyapunov exponent at every critical value point lying in the Julia set of $f|_L$ exist and is positive, and there is no parabolic cycle. Then the Fatou set in the attracting basin of $L$ is union of basins of attracting cycles, and the Julia set in the attracting basin of $L$ has Lebesgue measure zero. As a corollary, there are no wandering Fatou components in the attracting basin of $L$.
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\par {\bf \Rmnum{3}. Structure of Julia sets for post-critically finite endomorphisms on $\mathbb{P}^2$.} (Preprint.) De Th\'elin proved that for post-critically finite endomorphism on $\mathbb{P}^2$, the Green
current $T$ is laminar in $J_1\setminus J_2$, where $J_1$ denotes the Julia set, and $J_2$ denotes the support
of the measure of maximal entropy. We give a more explicit description of the
dynamics on $J_1 \setminus J_2$ for post-critically finite endomorphism on $\mathbb{P}^2$: either $x$ is contained in
an attracting basin of a critical component cycle, or there is a Fatou disk passing through
$x$. We also prove that for post-critically finite endomorphism on $\mathbb{P}^2$ such that all branches
of $PC(f)$ are smooth and intersect transversally, $J_2=\mathbb{P}^2$ if and only if $f$ is strictly post-critically finite. This gives a partial converse of a result of Jonsson. As an intermediate step
of the proof, we show that for post-critically finite endomorphism on $\mathbb{P}^2$, $J_2$ is the closure of the set of repelling cycles.
Cette th\`ese traite de deux aspects diff\'erents (produits semi-directs polynomiaux et endomorphismes post-
critiquement fini) de la dynamique holomorphe sur le plan projectif $\mathbb{P}^2 $. Elle contient les trois articles suivants:
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\par {\bf \Rmnum{1}. Non-wandering Fatou components for strongly attracting polynomial skew products.} (Publi\'e dans {\em The Journal of Geometric Analysis}.) Nous prouvons une g\'en\'eralisation du th\'eor\`eme de non-errance de Sullivan pour les produits semi-directs polynomiaux de $ \mathbb {C} ^ 2 $. Plus pr\'ecis\'ement, nous montrons que si $ f $ est un produits semi-direct polynomial avec une droite verticale invariante $ L $ attractive, et que de plus le multiplicateur correspondant
est suffisamment petit, alors il n'y a pas de composante Fatou errante dans le bassin d'attraction de $ L $.
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\par {\bf \Rmnum{2}. Non-uniform hyperbolicity in polynomial skew products.} (Soumis pour publication.) Soit $ f $ un produit
semi-directs polynomial avec une droite verticale invariante attractive $ L $. Supposons que $ f $ restreinte à $ L $ satisfait l'une des conditions non uniform\'ement hyperboliques suivantes: 1. $ f | _L $ est topologiquement Collet-Eckmann et Faiblement R\'egulière, 2. l'exposant de Lyapunov \`a chaque valeur critique se trouvant dans l'ensemble de Julia de $ f | _L $ existe et est positif, et il n'y a pas de cycle parabolique. Alors l'ensemble de Fatou dans le bassin attractif de $ L $ est l'union des bassins des cycles d'attraction, et l'ensemble de Julia dans le bassin attractif de $ L $ est de mesure de Lebesgue nulle. En particulier il n'y a pas de composants Fatou errant dans le bassin d'attraction de $ L $.
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\par {\bf \Rmnum{3}. Structure of Julia sets for post-critically finite endomorphisms on $\mathbb{P}^2$.} De Th\'elin a prouv\'e que pour l'endomorphisme post-critiquement fini sur $ \mathbb {P} ^ 2 $, le courant de Green $ T $ est laminaire dans $ J_1 \setminus J_2 $, o\`u $ J_1 $ est l'ensemble de Julia et $ J_2 $ est le support
de la mesure de l'entropie maximale. Dans ce contexte nous donnons une description plus explicite de la
dynamique sur $ J_1 \setminus J_2 $: ou bien $ x $ est contenu dans
le bassin d'attraction d'un cycle de composantes critiques, ou bien il y a un disque Fatou passant par
$ x $. Nous montrons \'egalement que pour un endomorphisme post-critiquement fini de $ \mathbb {P} ^ 2 $
tel que toutes les branches
de $ PC (f) $ sont lisses et se coupent transversalement, $ J_2 = \mathbb {P} ^ 2 $ si et seulement si $ f $ est strictement
post-critiquement fini. Cela est une r\'eciproque partielle d'un r\'esultat de Jonsson. Comme \'etape interm\'ediaire
de la preuve, nous montrons que $ J_2 $ est l'adherence de l'ensemble des cycles répulsifs.
Origine : Fichiers produits par l'(les) auteur(s)