Higher Complex Structures and Higher Teichmüller Theory

Structures complexes supérieures et théorie de Teichmüller supérieure

Alexander Thomas (1)

1 IRMA - Institut de Recherche Mathématique Avancée

In this PhD thesis, we give a new geometric approach to higher Teichmüller theory. In particular we construct a geometric structure on surfaces, generalizing the complex structure, and we explore its link to Hitchin components. The construction of this structure, called higher complex structure, uses the punctual Hilbert scheme of the plane. Its moduli space admits similar properties to Hitchin's component. We construct a generalized spectral curve, a (nearly) Lagrangian subvariety of the complexified cotangent space of the surface. Given a higher complex structure, we try to canonically deform it to a flat connection. The space of such connection, called ``parabolic'', is obtained by imitating the Atiyah-Bott reduction. It is a space of pairs of commuting differential operators. Under some conjecture, we establish a canonical diffeomorphism between our moduli space and Hitchin's component. Finally, we generalize certain constructions, like the punctual Hilbert scheme and the higher complex structure, to the case of a simple Lie algebra.

Dans cette thèse, on donne une nouvelle approche géométrique aux composantes des variétés de caractères. En particulier on construit une structure géométrique sur des surfaces, généralisant la structure complexe, et on explore son lien avec les composantes de Hitchin. Cette structure, appelée structure complexe supérieure, est construite en utilisant le schéma de Hilbert ponctuel du plan. Son espace des modules admet des propriétés similaires à la composante de Hitchin. On construit une courbe spectrale généralisée, une sous-variété (presque) Lagrangienne de l'espace cotangent complexifié de la surface. Partant d'une structure complexe supérieure, on cherche à la déformer d'une façon canonique en une connexion plate. L'espace de ces connexions plates, dites ``paraboliques'', s'obtient en imitant la réduction d'Atiyah-Bott. C'est un espace de paires d'opérateurs différentiels commutants. Sous une conjecture, on établit un difféomorphisme canonique entre l'espace des modules de notre structure géométrique et la composante de Hitchin. Enfin, on généralise certaines constructions, comme le schéma de Hilbert ponctuel et la structure complexe supérieure, au cas d'une algèbre de Lie simple.

Mots clés: Higgs bundles; punctual Hilbert schemes; character varieties; simple Lie algebras; Hitchin component; geometric structures; flat connections

Mots clés: variété des caractères; structures géométriques; algèbres de Lie simples; schémas de Hilbert ponctuels; composante de Hitchin; connexions plates; fibrés de Higgs

Domaines: Géométrie différentielle [math.DG]; Physique mathématique [math-ph]

Alexander Thomas. Higher Complex Structures and Higher Teichmüller Theory. Differential Geometry [math.DG]. Université de Strasbourg, IRMA UMR 7501, 2020. English. ⟨NNT : ⟩. ⟨tel-02615338v1⟩