Nodal rational sextics in the real projective plane

Sextiques rationelles nodales dans le plan projectif réel

Johannes Josi (1)

1 IMJ-PRG (UMR_7586) - Institut de Mathématiques de Jussieu - Paris Rive Gauche

This thesis studies nodal sextics (algebraic curves of degree six), and in particular rational sextics, in the real projective plane. Two such sextics with k nodes are called rigidly isotopic if they can be joined by a path in the space of real nodal sextics with k nodes. The main result of the first part of the thesis is a rigid isotopy classification of real nodal sextics without real nodes, generalizing Nikulin’s classification of non-singular sextics. In the second part we study sextics with real nodes and we describe the rigid isotopy classes of such sextics in the case where the sextics are dividing, i.e., their real part separates the complexification (the set of complex points) into two halves. As a main application, we give a rigid isotopy classification for those nodal real rational sextics which can be perturbed to maximal or next-to-maximal sextics in the sense of Harnack’s inequality. Our approach is based on the study of periods of K3 surfaces, drawing on the Global Torelli Theorem by Piatetski-Shapiro and Shafarevich and Kulikov’s surjectivity theorem, as well as Nikulin’s results on symmetric integral bilinear forms.

Cette thèse est consacrée à l’étude des courbes sextiques nodales, et en particulier des sextiques rationnelles, dans le plan projectif réel. Deux sextiques nodales réelles ayant k points doubles sont dites rigidement isotopes si elles peuvent être reliées par un chemin dans l’espace des sextiques nodales réelles ayant k points doubles. Le résultat principal de la première partie de la thèse donne une classification à isotopie rigide près des sextiques nodales irréductibles sans points doubles réels, généralisant la classification des sextiques non-singulières obtenue par Nikulin. La seconde partie porte sur les sextiques ayant des points doubles réels : une classification est obtenue pour les sextiques nodales séparantes, c’est-à-dire celles dont la partie réelle sépare leur complexification (l’ensemble des points complexes) en deux composantes connexes. Ce résultat est appliqué au cas des sextiques rationnelles réelles pouvant être perturbées en des sextiques maximales ou presque maximales (dans le sens de l’inégalité de Harnack). L’approche retenue repose sur l’étude des périodes des surfaces K3, se basant notamment sur le Théorème de Torelli Global de Piatetski-Shapiro et Shafarevich et le Théorème de Surjectivité de Kulikov, ainsi que sur les résultats de Nikulin portant sur les formes bilinéaires symétriques intégrales.

Mots clés: Real algebric curve; Rigid isotopy; K3 surface; Period map

Mots clés: Courbe algébrique réelle; Isotopie rigide; Surface K3; Application des périodes; Courbes sextiques nodales; Courbes sextiques rationnelles réelles

Domaines: Géométrie algébrique [math.AG]

Johannes Josi. Nodal rational sextics in the real projective plane. Algebraic Geometry [math.AG]. Sorbonne Université; Université de Genève, 2018. English. ⟨NNT : 2018SORUS076⟩. ⟨tel-02483545⟩