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Theses

Domination and identification games in graphs

Fionn Mc Inerney 1
1 COATI - Combinatorics, Optimization and Algorithms for Telecommunications
Laboratoire I3S - COMRED - COMmunications, Réseaux, systèmes Embarqués et Distribués, CRISAM - Inria Sophia Antipolis - Méditerranée
Résumé : Dans cette thèse, les jeux à 2 joueurs dans les graphes et leurs aspects algorithmiques et structurels sont étudiés. Nous explorons tout d'abord le jeu de domination éternelle ainsi que sa généralisation, le jeu de l'espion, deux jeux qui reposent sur les ensembles dominants dynamiques. Dans ces deux jeux, une équipe de gardes poursuit un attaquant ou espion rapide dans un graphe, avec l'objectif de rester près de lui éternellement. Le but est de calculer le nombre de domination éternelle (nombre de gardes pour le jeu de l'espion) qui est le nombre minimum de gardes nécessaires pour réaliser l'objectif. La dimension métrique des digraphes et une version séquentielle de la dimension métrique des graphes sont aussi étudiées. Ces deux problèmes ont pour objectif de trouver un sous-ensemble de sommets de taille minimum tel que tous les sommets du graphe sont identifiés uniquement par leurs distances aux sommets du sous-ensemble. En particulier, dans ce dernier problème, on peut "interroger" un certain nombre de sommets par tour. Les sommets interrogés retournent leurs distances à une cible cachée. Le but est de minimiser le nombre de tours nécessaires pour localiser la cible. Ces jeux et problèmes sont étudiés pour des classes de graphe particulières et leurs complexités temporelles sont aussi étudiées. Précisément, dans le Chapitre 3, il est démontré que le jeu de l'espion est NP-difficile et les nombres de gardes des chemins et des cycles sont présentés. Ensuite, des résultats sur le jeu de l'espion dans les arbres et les grilles sont présentés. Notamment, nous démontrons une équivalence entre la variante fractionnaire et la variante "intégrale" du jeu de l'espion dans les arbres qui nous a permis d'utiliser la programmation linéaire pour concevoir ce que nous pensons être le premier algorithme exact qui utilise la variante fractionnaire d'un jeu pour résoudre sa variante "intégrale". Dans le Chapitre 4, des bornes asymptotiques sur le nombre de domination éternelle de la grille du roi sont présentées. Dans le Chapitre 5, des résultats sur la NP-complétude du jeu de Localisation sous différentes conditions (et une variante de ce jeu) sont présentés. Notamment, nous démontrons que le problème est NP-complet dans les arbres. Malgré cela, nous concevons un (+1)-algorithme d'approximation qui résout le problème en temps polynomial. Autant que nous sachions, il n'existe pas d'autres telles approximations pour les jeux dans les graphes. Finalement, dans le Chapitre 6, des résultats sur la dimension métrique des graphes orientés sont présentés. En particulier, les orientations qui maximisent la dimension métrique sont explorées pour les graphes de degré borné, les tores et les grilles.
Document type :
Theses
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https://tel.archives-ouvertes.fr/tel-02184625
Contributor : Abes Star :  Contact
Submitted on : Monday, May 18, 2020 - 4:13:13 PM
Last modification on : Friday, June 5, 2020 - 9:26:02 PM

File

2019AZUR4049.pdf
Version validated by the jury (STAR)

Identifiers

  • HAL Id : tel-02184625, version 2

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Fionn Mc Inerney. Domination and identification games in graphs. Discrete Mathematics [cs.DM]. Université Côte d'Azur, 2019. English. ⟨NNT : 2019AZUR4049⟩. ⟨tel-02184625v2⟩

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