Long-Moody functors and stable homology of mapping class groups.

Foncteurs de Long-Moody et homologie stable des groupes de difféotopie.

Arthur Soulié (1)

1 IRMA - Institut de Recherche Mathématique Avancée

The Burau representations of braid groups can be obtained from on a trivial representation applying a construction due to Long in 1994, as a result of a collaboration with Moody. This construction, called the Long-Moody construction, allows to build increasingly complex representations of braid groups. In this thesis, we have a functorial point of on the Long-Moody construction, which allows to introduce some variants. Moreover, the polynomial degree of a functor measures its complexity. We thus show that the Long-Moody construction defines a functor LM, which increases the very strong polynomial degree. Furthermore, we define analogous functors for other families of groups, such as mapping class groups of surfaces and 3-manifolds, symmetric groups and automorphism groups of free groups.They satisfy similar properties on the polynomiality of a functor. The Long-Moody functors thus provide twisted coefficients conforming with the framework of the homological stability results of Randal-Williams and Wahl for the aforementioned families of groups. Finally, we give a comparison result between the stable homology with coefficient given by a functor F and the one with coefficient given by the functor LM(F) obtained applying a Long-Moody functor. This thesis has three chapters. The first one introduces Long-Moody functors for braid groups and their effect on the polynomiality. The second chapter deals with the generalization of the Long-Moody functors for other families of groups. The second chapter is about stable homology computations for mapping class groups.

Parmi les représentations linéaires des groupes de tresses, les représentations de Burau peuvent être construites à partir d'une représentation triviale via une construction introduite par Long en 1994, à l'issue d'une collaboration avec Moody. Cette construction, dite de Long-Moody, permet ainsi de construire des représentations de plus en plus complexes des groupes de tresses. Dans cette thèse, on adopte un point de vue fonctoriel sur cette construction, ce qui permet d'en dégager plus aisément des variantes. De plus, le degré de polynomialité d'un foncteur permet d'en mesurer la complexité. On montre ainsi que la construction Long-Moody définit un foncteur LM, qui augmente le degré de très forte polynomialité. Par ailleurs, on définit des foncteurs analogues pour d'autres familles de groupes telles que les groupes de difféotopie des surfaces et des 3-variétés, les groupes symétriques ou les groupes d'automorphismes des groupes libres. Ils vérifient des propriétés similaires sur la polynomialité. Les foncteurs de Long-Moody fournissent ainsi des coefficients tordus entrant dans le cadre des résultats de stabilité homologique de Randal-Williams et Wahl pour les familles de groupes susmentionnées. On donne enfin un résultat de comparaison entre l'homologie stable à coefficient dans un foncteur F et celle à coefficient dans le foncteur LM(F) obtenu en appliquant un foncteur de Long-Moody. Cette thèse se décompose en trois chapitres. Le premier introduit les foncteurs de Long-Moody pour les groupes de tresses et traite de leur effet sur la polynomialité. Le deuxième traite de la généralisation des foncteurs de Long-Moody pour d'autres familles de groupes. Le dernier chapitre concerne des calculs d'homologie stable pour les groupes de difféotopie.

Mots clés: Braid groups; mapping class groups; group homology; polynomial functors

Mots clés: Groupe de tresses; groupe de difféotopie; homologie des groupes; foncteurs polynomiaux

Domaines: Topologie algébrique [math.AT]; Catégories et ensembles [math.CT]; K-théorie et homologie [math.KT]

Arthur Soulié. Long-Moody functors and stable homology of mapping class groups.. Algebraic Topology [math.AT]. Institut de Recherche Mathématique Avancée, UMR 7501, 2018. English. ⟨NNT : ⟩. ⟨tel-01819086v2⟩