The discrete Laplacian of a 2-simplicial complex

Laplacien discret d'un 2-complexe simplicial

Yassin Chebbi (1, 2)

1 LMJL - Laboratoire de Mathématiques Jean Leray
2 Faculté des Sciences de Bizerte [Université de Carthage]

This thesis gives a general framework for Laplacians defined in terms of the combinatorial structure of a simplicial complex. More precisely, we introduce the notion of orientated triangle face in a connected, orientated and locally finite graph. This structure of a 2-simplicial complex allows to define our discrete Laplacian which acts on the triplets of functions, 1-forms and 2-forms. In this context, we are interested in studying the essential self-adjointness of our Laplacian. Thus, we introduce the geometrical hypothesis of x-completeness on triangulations to ensure the essential self-adjointness of the Gauß-Bonnet operator. This thesis deals also with questions of specral theory of finite triangulations on our Laplacian. We find an estimate for the upper Laplacian spectral gap in a triangulation of a complete graph for which we generalize the definition of the Cheeger constant which gives us an upper bound. Moreover, we obtain a lower bound of this estimate by the first non-zero eigenvalue of the discrete Laplacian defined on the space of functions on the vertices.

Cette thèse donne un cadre général pour les Laplaciens définis en termes de structure combinatoire d’un complexe simplicial. Plus précisément, nous introduisons la notion de face triangle orientée dans un graphe connexe, orienté et localement fini. Cette structure de 2-complexe simplicial permet de définir notre Laplacien discret qui agit sur les triplets de fonctions, 1-formes et 2-formes. Dans ce contexte, nous nous intéressons à l’étude du caractère essentiellement auto-adjoint de notre Laplacien. Pour cela, on introduit l’hypothèse géométrique de x-complétude sur les tiangulations pour garantir le caractère essentiellement auto-adjoint à l’opérateur de Gauß-Bonnet. Cette thèse traite également de questions de théorie spectrale des triangulations finies portant sur notre Laplacien. Nous trouvons une estimation pour le trou spectral du Laplacien supérieur dans une triangulation d’un graphe complet pour lequel nous généralisons la définition de la constante de Cheeger qui nous donne une majoration explicite. En outre, nous obtenons une minoration de cette estimation par la première valeur propre non nulle du Laplacien discret défini sur l’espace des fonctions sur les sommets.

Mots clés: Graph; Simplicial complex; discrete Laplacien; Gauß-Bonnet operator; Spectrum; Cheeger constant.

Mots clés: Graphe; Complexe simplicial; Laplacien discret; Opérateur de Gauß-Bonnet; Spectre; Constante de Cheeger.

Domaines: Mathématiques [math]; Analyse fonctionnelle [math.FA]; Combinatoire [math.CO]

Yassin Chebbi. Laplacien discret d'un 2-complexe simplicial . Mathématiques [math]. Université de Nantes, Faculté des sciences et des techniques.; Université de Carthage (Tunisie), 2018. Français. ⟨NNT : ⟩. ⟨tel-01800569⟩