Mathematical and numerical methods for deformations modelling and texture analysis. Applications in medical imaging.
Méthodes mathématiques et numériques pour la modélisation des déformations et l’analyse de texture. Applications en imagerie médicale.
Résumé
This thesis focuses on the problem of image matching. Our purpose is the implementation of a numerical procedure for the matching of pre and post-operative 3d MR images. The problem of image matching is addressed through the usual distinction between the deformation model and the matching criterion. The deformation model used is based on the theory of computational anatomy. Thus, the set of deformations is represented by a group of diffeomorphisms generated by integrating time dependent vector fields in a suitable Hilbert space. The discrepancy between the two images is evaluated through comparisons of level lines of both images. More precisely, each level line is represented by a differential current in the dual of a Hilbert space of vector fields. When the space is correctly chosen, the representation leads to a quickly computable non-local matching criterion. Once the set of deformations and the matching criterion are defined, we can look for a good matching in the whole set of diffeomorphisms. The research method is based on the minimization of the matching criterion following the idea of the so-called sub-optimal algorithm. We take advantage of the eulerian and periodical description of the algorithm in order to get an efficient numerical procedure based on the resolution of a transport equation. Finally, this algorithm can be used to deal with 3d MR images. Various numerical experiences are presented. The first ones are based on 2d artificial images. They aim to illustrate some basic properties of the algorithm. We also use a 2d example to illustrate the proximity between the result of the sub-optimal algorithm and of the LDDMM algorithm. Finally, the algorithm is used in order to perform image matching with pre and post-operative 3d MR images. The whole numerical procedure is described. Details are also provided about the preliminary step of rigid matching. In an other part, we focus on some theoretical properties of the algorithm. To this aim, we begin by simplifying the transport equation representing the evolution of the deformed image. In this way, we get an Hamilton-Jacobi equation which is studied using the theory of viscosity solutions.
The second issue we are interested in is the so-called change-point analysis problem. More precisely, we are interested in change-point estimation for a gaussian sequence with change in the variance parameter. This is a classical problem of statistics which does not appear to have any connection with brain image processing. However, we hope that the
change-point estimator and the associated results can be used to derive new tools for brain tumor segmentation. We will focus on the problem of estimating a change-point in variance for centered stationary Gaussian sequences. The main feature of our model is that we work with infill data. This means that the nature of the data can evolve jointly with the size of the sample. The usual approach suggests to introduce a contrast function estimating a parameter before and after the change and using the point of its maximum as a change-point estimator. We first get an information about the asymptotic fluctuations of the contrast function around its mean function. Then, we focus on the change-point estimator and more precisely on the convergence of this estimator. Our model is quite general and also includes the possibility of find change in the correlation of the sequence. The most direct application concerns the detection of change in the Hurst parameter
of a fractional brownian motion. In this work, the change-point estimator depends on a parameter p > 0, generalizing the usual choice p = 2, often used for estimating the Hurst parameter. We present some results illustrating the advantage of a parameter p < 2.
Cette thèse se focalise sur l'étude et la mise en application d'un algorithme réalisant l'appariement de deux images. Notre objectif est la mise en place d'une procédure numérique pour le recalage d'IRM cérébrales 3d obtenues en situation pré-opératoire et post-opératoire. Le problème d'appariement est abordé à travers la distinction usuelle entre, le modèle de déformation d'une part, le critère d'appariement d'autre part. Le modèle de déformation que nous utilisons se base sur la théorie de l'anatomie computationnelle. Les déformations sont donc représentées par un groupe de difféomorphismes, lui même engendré par un espace de Hilbert de champs de vecteurs. Le décalage entre les deux images est évalué en comparant les lignes de niveau de ces images. Pour cela, chaque ligne de niveau est représentée par un courant différentiel dans le dual d'un espace de champs de vecteurs. Si l'espace des champs est correctement choisi, on en déduit un critère d'appariement quantifiant la distance entre les deux images. Le critère obtenu est non local, rapide à calculer et se ramène à une mesure de la différence entre les gradients des deux images. Dès lors, on se place dans l'ensemble des difféomorphismes pour rechercher une déformation réalisant un appariement correct entre les deux images. Pour effectuer cette recherche, on minimise le critère d'appariement en suivant la procédure appelée algorithme sous-optimal. Cette procédure, quand elle est envisagée selon la description eulérienne du mouvement, est entièrement représentée par une équation de transport. Cette description, associée à une formulation périodique de l'algorithme, nous donne une procédure numérique efficace et adaptée au traitement des données 3d. Les premières expériences numériques présentées sont des cas tests 2d, illustrant les caractéristiques principales de l'algorithme. Ces tests permettent aussi de mettre en valeur la proximité entre le résultat de l'algorithme sous-optimal et celui du LDDMM. L'algorithme est ensuite utilisé pour le recalage d'images IRM 3d de type pré-opératoire et post-opératoire. La procédure numérique menant à ces résultats, en particulier l'étape préliminaire de recalage rigide, est intégralement décrite. Une autre partie de nos travaux concerne la mise en évidence de certaines propriétés de l'algorithme. Pour cela, nous avons simplifié l'équation de transport représentant l'évolution de l'image au cours de l'algorithme. Il en résulte une équation de Hamilton-Jacobi qui est étudiée en utilisant la théorie des solutions de viscosité.
Le deuxième problème étudié dans cette thèse est celui de la détection de rupture dans la variance d'un signal aléatoire gaussien. C'est un problème de nature statistique, qui, en première approche, n'a pas de lien direct avec le traitement des images cérébrales. Nous espérons, cependant, qu'il puisse mener à la construction de méthodes innovantes pour la segmentation des zones tumorales en imagerie du cerveau. Les signaux considérés sont des suites gaussiennes, de moyenne nulle et stationnaires par morceaux. La spécificité de notre modèle vient du fait que nous considérons des données infill, ce qui signifie que la nature des données peut changer avec la taille de l'échantillon. L'estimateur de l'instant de rupture est défini comme le point maximisant une fonction de contraste calculée en utilisant l'échantillon. Nous étudions d'abord la convergence de la fonction de contraste en utilisant la théorie des chaos de Wiener. Nous étudions ensuite la convergence de l'estimateur de l'instant de rupture. Le modèle que nous considérons est assez général et autorise aussi la détection de rupture dans la corrélation de la séquence. L'application la plus directe concerne l'estimation de changement dans le paramètre de Hurst d'un mouvement brownien fractionnaire. Dans ces travaux, l'estimateur de l'instant de rupture dépend d'un paramètre p>0, généralisant la situation plus habituelle où p=2. Nous présentons des résultats illustrant le fait qu'il peut être intéressant de choisir p<2.
Origine : Fichiers produits par l'(les) auteur(s)