Spectres euclidiens et inhomogènes des corps de nombres

Jean-Paul Cerri (1)

1 IECL - Institut Élie Cartan de Lorraine

This thesis attempts to address various issues relating to the concepts of Euclidean and inhomogeneous spectra of a number field (for the norm form), especially those relating to its Euclidean minimum. We establish, in particular, that for every number field K, its Euclidean minimum, denoted by M(K), and its inhomogeneous minimum are equal, and that, if the unit rank r of K verifies r>1, the Euclidean and inhomogeneous spectra of K are equal and rational when K is not CM. The results that we have established under the hypothesis r>1, have as a consequence, the decidability of whether K is norm-Euclidean or not. We also show how to compute M(K). We present an algorithm when K is a totally real number field. This algorithm has enabled us to establish tables up to degree 8, and it may be transposed to any number field. Moreover, this algorithm has enabled us to find many examples of number fields with class number 1, which are not norm-Euclidean but m-stage norm-Euclidean for m=2.

Cette thèse vise à répondre à certaines questions relatives aux notions de spectres euclidien et inhomogène (pour la norme) d'un corps de nombres, et notamment à celles qui concernent son minimum euclidien. Nous établissons que pour tout corps de nombres K, son minimum euclidien M(K), est égal à son minimum inhomogène, et que si le rang r du groupe des unités de K vérifie r>1, les spectres euclidiens et inhomogènes de K sont égaux et rationnels lorsque K n'est pas CM. Les résultats que nous établissons sous l'hypothèse r>1, ont pour conséquence la décidabilité de l'euclidianité de K pour la norme. Nous montrons également comment calculer explicitement M(K). Nous décrivons un algorithme pour le cas totalement réel, qui a permis de construire des tables jusqu'au degré 8, et nous indiquons comment le transposer à des corps de nombres quelconques. Cet algorithme a permis de trouver de nombreux exemples de corps de nombres principaux, non euclidiens pour la norme et euclidiens en 2 étapes.

Mots clés: Spectres euclidiens; Euclide; Algorithme d'; Théorie algorithmique des nombres

Domaines: Mathématiques générales [math.GM]

Jean-Paul Cerri. Spectres euclidiens et inhomogènes des corps de nombres. Mathématiques générales [math.GM]. Université Henri Poincaré - Nancy 1, 2005. Français. ⟨NNT : 2005NAN10121⟩. ⟨tel-01746548v1⟩