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Theses

Homotopy invariants of vector fields in 3-manifolds

Résumé : En 1998, R. Gompf a défini un invariant homotopique des champs de plans orientés des 3-variétés fermées orientées. Cet invariant est défini pour les champs de plans orientés xi; de toute 3-variété fermée orientée M dont la première classe de Chern c_1(xi) est un élément de torsion de H_2(M;Z). Dans le premier chapitre de la thèse, nous définissons une extension de l’invariant de Gompf pour toutes les 3-variétés compactes orientées à bord et nous étudions ses variations lors de chirurgies lagrangiennes. Il en résulte que l’invariant de Gompf étendu peut être vu comme un invariant de type fini de degré 2.L’invariant Théta est un invariant de variétés de dimension 3 parallélisées qui provient de la partie de degré 1 du développement perturbatif de la théorie de Chern-Simons. G. Kuperberg et D. Thurston ont identifié l’invariant Théta(M,tau) d’une sphère d’homologie entière M munie d’une parallélisation tau; à lambda_cw(M) + 1/4·p_1(tau) où lambda_cw désigne la généralisation de Walker de l’invariant de Casson et p_1 est un invariant de la parallélisation définie à partir d’une première classe de Pontrjagin. C. Lescop a étendu l’invariant Théta aux sphères d’homologie rationnelle munies d’une classe d’homotopie de combings et elle a montré que pour toute sphère d’homologie rationnelle M munie d’un combing X, la formule Théta(M,[X]) = 3·lambda_cw(M) + 1/4·p_1([X]) était encore valable pour une extension ad hoc des nombres de Pontrjagin aux combings. Elle a aussi donné une formule combinatoire pour l’invariant Théta d’une sphère d’homologie rationnelle présentée par un diagramme de Heegaard et munie d’un combing associé au diagramme, et elle a démontré combinatoirement que cette formule définit un invariant homotopique des couples (M,[X]). Dans le prolongement de ce travail, le deuxième chapitre de la thèse présente une preuve combinatoire de la décomposition de cet invariant combinatoire comme 3·lambda_cw(M) + 1/4·p_1([X]). Cette preuve repose sur la théorie des invariants de type fini des sphères d’homologie rationnelle relativement aux chirurgies lagrangiennes établie par D. Moussard en 2012
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Theses
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Contributor : Abes Star :  Contact
Submitted on : Friday, January 12, 2018 - 3:08:05 PM
Last modification on : Wednesday, July 15, 2020 - 9:22:04 AM

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  • HAL Id : tel-01681440, version 2

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Jean-Mathieu Magot. Homotopy invariants of vector fields in 3-manifolds. K-Theory and Homology [math.KT]. Université Grenoble Alpes, 2016. English. ⟨NNT : 2016GREAM070⟩. ⟨tel-01681440v2⟩

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