Geometric Satake Correspondance, canonical bases and Schützenberger involution

Correspondance de Satake géométrique, bases canoniques et involution de Schützenberger

Arnaud Demarais (1)

1 IRMA - Institut de Recherche Mathématique Avancée

In chapter 1 we give notations for algebraic groups and lie algebras. We define highest weight modules and schutzenberger involution In chapter 2 we define affine grassmannians and some subvarieties, we explain what Satake correspondance is. We also give explainations for the beilinson drinfeld grassmannian and GMV cycles. In chapter 3 we have out first result : the interpretation of the intersection form in terms of representation theory. We conjecture a way to prove that de MV basis is compatible with Schutzenberger involution In chapter 4 we prove this conjecture in A2 type and with all the tools used in the demonstration we can provethat the GMV basis and the dual semicanonical basis coincide.

Au chapitre 1, nous rappelons les résultats et les notations usuelles relatives aux groupes et algèbres de Lie. Nous donnons par exemple les définitions ou propriétés concernant les modules simples de plus haut poids, de l'involution de Schützenberger, des formes contravariantes ou de la catégorie des cristaux de Kashiwara. Dans le chapitre 2, nous nous intéressons à la grassmannienne affine ainsi qu'à plusieurs de ses sous-variétés. Après quelques rappels sur sa géométrie, nous énonçons la correspondence de Satake géométrique et nous définissons les cycles et base de Mirkovi\'{c} et Vilonen. Dans un second temps, nous présentons la variété de convolution et grassmannienne de Beilinson-Drinfeld ainsi que la base de Mirkovi\'{c} et Vilonen généralisée du produit tensoriel L(\lambda_{1})\otimes...\otimes L(\lambda_{n}) (ou base GMV). Nous énonçons alors les principales propriétés de cette base, à savoir sa compatibilité avec la filtration par les composantes isotypiques. Si v est un vecteur de la base de Mirkovi\'{c} et Vilonen généralisée de L(\lambda_{1})\otimes...\otimes L(\lambda_{m}) et v' de celle de L(\lambda_{m+1})\otimes...\otimes L(\lambda_{n}) , on donne aussi les coefficents de la décomposition de v\otimes v' dans la base de Mirkovi\'{c} et Vilonen généralisée de L(\lambda_{1})\otimes...\otimes L(\lambda_{n}) Dans le chapitre 3, nous définissons la forme d'intersection sur les groupes de cohomologie, et nous identifions cette forme d'intersection avec une forme contravariante tordue par l'involution de Schützenberger. Nous expliquons ensuite le lien entre la symétrie vis à vis de l'involution de Schützenberger de la matrice de passage de la base des tenseurs vecteurs de la base MV vers la base GMV et la compatibilité de la base MV avec l'involution de Schützenberger. Le chapitre 4 est quant à lui consacré à l'étude du cas de l'algèbre de Lie \mathfrak{sl}_{2} . Nous commençons par y démontrer une formule explicite donnant le coefficient d'un vecteur de la base GMV dans la décomposition du produit tensoriel d'un vecteur de la base MV avec un vecteur de la base GMV. Nous énonçons ensuite quelques règles de calcul issues de cette formule, nous servant d'une part à démontrer la symétrie par rapport à l'involution de Schützenberger, puis d'autre part à démontrer que la base GMV coïncide avec la base canonique duale.

Mots clés: GMV basis; MV basis; geometric Satake correspondance; affine grassmanian

Mots clés: base canonique; Vilonon; Mirkovic; cylcles MV; Beilinson-Drinfeld; groupes quantiques; représentations; Satake géométrique; correspondance; involution de Schützenberger; grassmannienne affine; faiceaux pervers

Domaines: Mathématiques [math]

Arnaud Demarais. Correspondance de Satake géométrique, bases canoniques et involution de Schützenberger. Mathématiques [math]. Université de Strasbourg, 2017. Français. ⟨NNT : ⟩. ⟨tel-01652887v2⟩