Hilbert manifold structure and mass on the set of weakly asymptotically hyperbolic relativistic initial data
Structure de variété de Hilbert et masse sur l'ensemble des données initiales relativistes faiblement asymptotiquement hyperboliques
Résumé
General relativity is a gravitational theory born a century ago, in which the uni-
verse is a 4-dimensional Lorentzian manifold (N,γ) called spacetime and satisfying Einstein's
field equations. When we separate the time dimension from the three spatial ones, constraint
equations naturally follow on from the 3+1 décomposition of Einstein's equations. Constraint
equations constitute a necessary condition, as well as sufficient, to consider the spacetime N
as the time evolution of a Riemannian hypersurface (M,g) embeded into N with the second
fundamental form K. (M,g,K) is then an element of C, the set of initial data solutions to
the constraint equations. In this work, we use Robert Bartnik's method to provide a Hilbert
submanifold structure on C for weakly asymptotically hyperbolic initial data, whose regularity
can be related to the bounded L 2 curvature conjecture. Difficulties arising from the weakly
AH case led us to introduce two second order differential operators and we obtain Poincaré
and Korn-type estimates for them. Once the Hilbert structure is properly described, we define
a mass functional smooth on the submanifold C and compatible with our weak regularity as-
sumptions. The geometrical invariance of the mass is studied and proven, only up to a weak
regularity conjecture about coordinate changes near infinity. Finally, we make a correspondance
between critical points of the mass and static metrics.
La relativité générale est une théorie physique de la gravitation élaborée il y a un
siècle, dans laquelle l'univers est modélisé par une variété Lorentzienne (N,γ) de dimension
4 appelée espace-temps et vérifiant les équations d'Einstein. Lorsque l'on sépare la dimension
temporelle des trois dimensions spatiales, les équations de contrainte découlent naturellement
de la décomposition 3 + 1 des équations d'Einstein. Elles constituent une condition nécessaire
et suffisante pour pouvoir considérer l'espace-temps N comme l'évolution temporelle d'une
hypersurface Riemannienne (M,g) plongée dans N avec une seconde forme fondamentale K.
Le triplet (M,g,K) constitue alors une donnée initiale solution des équations de contrainte
dont on note C l'ensemble. Dans cette thèse, nous utilisons la méthode de Robert Bartnik
pour établir la structure de sous-variété de Hilbert de C pour des données initiales faiblement
asymptotiquement hyperboliques, dont la régularité peut être reliée à la conjecture de courbure
L 2 bornée. Les difficultés inhérentes au cas faiblement AH ont nécessité l'introduction de deux
opérateurs différentiels d'ordre deux et l'obtention d'estimées de type Poincaré et Korn pour ces
opérateurs. Une fois la structure de Hilbert obtenue, nous définissons une fonctionnelle masse
lisse sur la sous-variété C et compatible avec nos conditions de faible régularité. L'invariance
géométrique de la masse est étudiée et montrée, modulo une conjecture en faible régularité
relative au changement de cartes au voisinage de l'infini. Enfin, nous faisons le lien entre les
points critiques de la masse et les métriques statiques.
Origine : Fichiers produits par l'(les) auteur(s)