Quaterny approach of cryptographic functions, Boolean functions and Tu & Deng conjecture
Approche quaternaire des fonctions cryptographiques, fonctions booléennes et conjecture de Tu-Deng
Résumé
The core of this thesis is the study of some mathematical objects or problems of interest in cryptology. The linear complexity of sequences is one of the important security measures for stream cipher systems. Recently, in the study of vectorized stream cipher systems, Bent functions have been generalized to the alphabet and also studied by several authors. This generalization maps the classical definition of binary bent functions to generalized bent functions. Among all known constructions of generalized bent functions not a lot matter about their binary projection. In the first part we present a state of the art around boolean functions, generalized functions, and associated combinational conjectures. The second part is devoted to our scientific contributions : We begin with a new construction of a family of $m$-variables quaternary (-valued) bent functions over Galois ring and cyclotomic classes using an intern function defined on a particular splitting of the Teichmuller system. Using a particular binary projection map we obtain a family of variables boolean bent functions and a family of -variables boolean functions with maximal nonlinerity equal to . To design robust symmetric encryption schemes, we need to use Boolean functions with suitable properties. Among the security criteria these functions need to fulfill, we can mention algebraic immunity. A lot of papers study how to construct suitable functions, but some of them assume the validity of Tu- Deng¿s combinatorial conjecture to estimate the algebraic immunity of the Boolean functions they design. The last chapter of this part is devoted to the study of a combinatorial conjecture whose validity entails the existence of infinite classes of Boolean functions with good cryptographic properties. Although the conjecture seems quite innocuous, its validity remains an open question. We prove two new results about this conjecture and point out a new family of integers that satisfy it. However, we sincerely hope that the theoretical and experimental results presented here will give the reader a good insight into the conjecture. As much as possible, we tried to emphasize the computational aspects of these problems. The topics covered here are indeed not only favorable to experimental investigations, but also to the quasi direct translation of the mathematical concepts involved into concrete algorithms and implementations.
le coeur de cette thèse est l'étude d'objets ou de problèmes mathématiques intéressants en cryptologie. Les thèmes traités ici sont en effet non seulement propices aux approches expérimentales, mais aussi à une transposition quasiment immédiate des concepts mathématiques en implémentations concrètes. Dans ce mémoire nous allons nous intéresser à la cryptographie symétrique. La motivation de la recherche présentée dans ce manuscrit est d'étudier et construire des objets mathématiques vérifiant des propriétés appropriées pour être utilisées dans un contexte de chiffrement symétrique. Les fonctions booléennes constituent des blocs de construction couramment utilisés dans la conception de systèmes cryptographiques symétriques, en particulier dans le chiffrement à flot. De toute évidence, les propriétés de ces fonctions sont essentielles pour les exigences de sécurité du système final qui les utilise. En effet, si la fonction n'est pas soigneusement choisie, l'utilisation d'une fonction booléenne présentant des faiblesses peut mettre en péril l'ensemble du système. Par conséquent, plusieurs propriétés cryptographiques sur les fonctions booléennes ont été définies et étudiées pour assurer l'immunité du système face aux différents types d'attaques. Au départ, les fonctions booléennes ont été largement étudiées en raison de leur liaison avec la théorie des codes correcteurs. Leurs propriétés sont étroitement liées aux propriétés des codes cycliques. Suite à l'évolution permanente du domaine de la cryptanalyse et l'apparition de nouvelles attaques, la conception de fonctions booléennes reste en constante évolution. Naturellement, ceci implique de nouvelles restrictions sur les classes de fonctions booléennes adoptées et rend parfois obsolètes les familles de fonctions connues. Par ailleurs, ces critères présentent des incompatibilités, et des compromis doivent être considérés. Ainsi, il devient de plus en plus difficile de construire, ou même de caractériser des fonctions booléennes satisfaisant tous les critères. Dans la première partie de cette thèse, nous donnons une description un peu plus formelle du contexte d'utilisation des fonctions booléennes dans le chiffrement à flot et définissons les propriétés cryptographiques suivantes : équilibre, degré algébrique, immunité algébrique, résistance aux attaques algébriques rapides, et haute non-linéarité. Les attaques correspondantes seront également mentionnées, mais pas décrites. Ensuite, nous nous intéressons tout particulièrement aux fonctions booléennes courbes, aux fonctions quaternaires courbes et aux fonctions courbes généralisées. Nous allons nous intéresser dans un premier temps aux connexions entre les mondes quaternaire et binaire. Tout particulièrement, à la relation entre les fonctions quaternaires dites courbes et leurs homologues booléennes. Construire des fonctions booléennes satisfaisant les critères cryptographiques, voire prouver leur existence, est une tâche rude mais pas impossible. Aussi une des motivations de ce travail est de pouvoir construire des fonctions booléennes courbes par projections de fonctions quaternaires particulières.
Origine : Fichiers produits par l'(les) auteur(s)
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