Shape optimization for contact and plasticity problems thanks to the level set method
Optimisation de forme pour des problèmes de contact et de plasticité grâce à la méthode de lignes de niveaux
Résumé
The main purpose of this thesis is to perform shape optimisation, in the framework of the level set method, for two
mechanical behaviours inducing displacement which are not shape differentiable: contact and plasticity. To overcome
this obstacle, we use approximate problems found by penalisation and regularisation.
In the first part, we present some classical notions in optimal design (chapter 1). Then we give the mathematical
results needed for the analysis of the two mechanical problems in consideration and illustrate these results thanks to
some examples.
The second part is meant to introduce the five static contact models (chapter 3) and the static plasticity model
(chapter 4) we use throughout the manuscript. For each chapter we provide the basis of the mechanical modeling, a
mathematical analysis of the related variational equations and inequations and, finally, explain how we implement the
associated solvers.
Eventually the last part, consisting of two chapters is devoted to shape optimisation. In each of them, we state the
penalised and regularised versions of the models, prove, for some of them, the convergence to the exact ones, compute
shape gradients and perform some numerical experiments in 2D and, for contact, in 3D. Thus, in chapter 5, we focus
on contact and consider two types of optimal design problems: one with a fixed contact zone, which can be used or
not by the algorithm, and another one with a mobile contact zone. For this last type, we introduce two ways to solve
frictionless contact without meshing the contact zone. One of them is new and the other one has never been employed
in this framework. In chapter 6, we deal with the Hencky model which we approximate thanks to a Perzyna penalised
problem as well as a home-made one.
Le sujet principal de cette thèse est l'optimisation de forme via la méthode des "level sets" pour deux types de comportements mécaniques induisant des déplacements qui ne sont pas différentiables par rapport à la forme: le contact et la plasticité. Afin de surmonter cet obstacle, nous utilisons des problèmes approchés construits à l'aide de méthode de pénalisation et de régularisation.
Dans la première partie, nous présentons quelques notions fondamentales d'optimisation de forme (chapitre 1). Puis nous exposons les résultats qui seront utiles à l'analyse des deux problèmes mécaniques considérés et nous illustrons ces résultats à l'aide de quelques exemples.
La deuxième partie introduit les cinq modèles statique de contact (chapitre 3) et le modèle statique de plasticité (chapitre 4) que nous utilisons tout au long du manuscrit. Pour chaque modèle, nous donnons les bases de la modélisation mécanique, une analyse mathématique des équations et in équations variationnelles associés et, enfin, nous expliquons quels solveurs nous avons implémentés.
La dernière partie, divisée en deux chapitres, se focalise sur l'optimisation de forme. Dans chacun des chapitres nous donnons les versions pénalisées et régularisées des modèles, prouvons, pour certains d'entre eux, leur convergence vers les modèles exactes, calculons les gradients de forme respectifs et proposons des exemples numériques 2D et aussi, dans le cas du contact, 3D. Ainsi, dans le chapitre 5, traitons-nous du contact et considérons deux sortes de problèmes d'optimisation de forme: le premier dans lequel la zone de contact est fixe mais peu ou non être utilisée par l'algorithme, le second dans lequel la zone de contact est optimisable. Pour ce dernier type de problème, nous introduisons deux méthodes différentes pour résoudre du contact sans frottement sans discrétiser la zone de contact. Une de ces méthodes est nouvelles tandis que l'autre n'a jamais été employée dans ce contexte. Dans le chapitre 6, nous abordons le modèle de Hencky que nous approximons grâce à une pénalisation de Perzyna ainsi que grâce à un modèle de notre cru.