Observation and control for some conservative systems
Observation et contrôle de quelques systèmes conservatifs
Résumé
In this work, we focus on the internal controllability and its cost for some linear partial differential equations. In the first part, we introduce and describe two methods to provide precise estimates of the cost of control (and by duality, of the observability constant) for general one dimensional wave equations with potential. The first one is based on a propagation argument along the characteristics relying on the symmetrical roles of the time and space variables. The second one uses a spectral decomposition of the solution of the wave equation and ingham's inequalities. This relates the estimation of the observability constant to the study of an optimal problem involving dirichlet eigenfunctions of laplacian with potential. We provide some qualitative properties of the minimizers, and also precise bounds on the minimum. In the second part, we are concerned with the controllability of some systems of equations by a reduced number of controls (i.e. the number of controls is less that the number of equations). In particular, in the case of coupled systems of schrödinger equations, we exactly characterize the initial conditions that can be controlled and we give a necessary and sufficient condition of kalman type for the controllability of coupled systems of wave equations. The proof relies on the fictitious control method coupled with the proof of an algebraic solvabilityproperty for some related underdetermined system, as well as on some regularity results.
Dans cette thèse, nous nous intéressons à la contrôlabilité interne et à son coût pour une ou plusieurs équations aux dérivées partielles conservatives. ?Dans la première partie, nous introduisons et détaillons deux méthodes permettant d'estimer le coût du contrôle (et par dualité, de la constante d'observabilité) de l'équation des ondes avec potentiel $l^{\infty}$ en dimension un d'espace. La première utilise la propagation des ondes le long des caractéristiques en s'appuyant sur le rôle symétrique de la variable de temps et d'espace. La deuxième méthode repose sur la décomposition spectrale de l'équation des ondes et sur l'utilisation des inégalités d'ingham. L'estimation de la constante d'observabilité se ramène alors à l'étude d'un problème d'optimisation faisant intervenir les vecteurs propres du laplacien-dirichlet avec potentiel. Nous fournissons ensuite des propriétés qualitatives sur le minimiseurs ainsi qu'une estimation du minimum ne dépendant que de la mesure de l'ensemble d'observation. ?Dans la deuxième partie, nous étudions la contrôlabilité de certains systèmes d'équations avec un nombre de contrôles réduits, autrement dit le nombre de contrôles est plus petit que le nombre d'équations. En particulier, nous caractérisons exactement les données initiales qui peuvent être contrôlées pour des systèmes d'équations couplées de type schrödinger et nous énonçons une condition nécessaire et suffisante de type kalman pour des systèmes d'équations des ondes couplées. La preuve repose sur une méthode de contrôle fictif combinée à la résolution algébrique d'un système sous-déterminé et sur certains résultats de régularité.
Domaines
Variables complexes [math.CV]
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