Analytic classification of germs of three-dimensional doubly-resonant vector fields and applications to Painlevé equations
Classication analytique de germes de champs de vecteurs tridimensionnels doublement résonants et applications aux équations de Painlevé
Résumé
We consider germs of analytic singular vector fields in dimension three, called doubly-resonant saddle-nodes. These vector fields correspond to irregular two-dimensional systems with a pair of two opposite non-zero eigenvalues. This king of singularity appears for instance at infinity in Painlevé equations PI,...,PV, after a weighted compactifcation, for generic values of the parameters. Since Boutroux, the study of these singularities has generated many researches. Recently, several authors provided new informations, by studying for instance the associated non-linear and quasi-lineair Stokes phenomenas and by giving connection formulas. Quasi-linéaire Stokes coefficients are invariant under local analytic change of coordinates, but do not form a complete set of invariants for analytic classification. The goal of this work is to provide a complete analytic classification of doubly-resonant saddle-nodes. The idea for this is to adapt the works of Martinet and Ramis, generalized then by Stolovitch. In the first part, we give a formal classification, based on the existence on unique formal normal forms. In the second part, we prove the existence of sectorial nomalizing maps (analytic over sectors), generalizing a theorem by Hukuhara-Kimura-Matuda. In the third part, we study the Stokes diffeomorphisms, and more generaly the sectorials isotropies of the normal form. We obtain a complet set of analytic invariants. Finally, in the fourth part, we compute some of these invariants in the case of the first Painlevé equation.
On considère des germes de champs de vecteurs holomorphes singuliers trimimensionnels, appelés noeud-cols doublement résonants. Ces champs de vecteurs correspondent à des systèmes différentiels
bidimensionnels à singularité irrégulière, et dont la partie linéaire
possède deux valeurs propres non-nulles opposées. Ce type de singularité
apparait par exemple à l'infini dans les équations de Painlevé PI,...,PV après compactification à poids de l'espace, pour des
valeurs génériques des paramètres. Depuis Boutroux, l'étude de ces singularités a générè de nombreux travaux de recherche. Récemment, plusieurs auteurs ont
fournis des informations nouvelles, en
étudiant notamment les phénomènes de Stokes non-linéaires et quasi-linéaires
associés, en donnant des formules de connexion. Les coefficients de
Stokes quasi-linéaires sont invariants sous l'action de changement
de coordonnées analytiques locaux, mais ne forment pas un système
complet d'invariants analytiques. L'objectif de ce travail de thèse
est de fournir une classification analytique générale et complète
des noeud-cols doublement résonants. L'idée pour cela est
d'adapter les travaux de Martinet et Ramis, généralisés ensuite par
Stolovitch. Dans une première partie on fournit une
classification formelle, i.e. sous l'action de changements
de coordonnées formels, en exhibant des formes normales formelles. Dans un second temps, on étudiera l'existence de normalisations sectorielles (analytiques sur des secteurs), généralisant
ainsi un théorème de Hukuhara-Kimura-Matuda. Enfin, on étudiera les
recollements entre ces applications normalisantes dans
les domaines d'intersections: c'est ce que l'on appellera les difféomorphismes
de Stokes. Il s'agira là d'étudier des isotropies sectorielles de la forme normale. On
verra que la donnée d'une forme normale formelle et d'un couple de
difféomorphismes de Stokes fournira un système complet d'invariants
analytiques. Enfin, dans une quatrième et dernière partie, nous calculerons
certains de ces invariants pour la singularité irrégulière à l'infini
de la première équation de Painlevé.
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