Dérivation des équations de Schrödinger non linéaires par une méthode des caractéristiques en dimension infinie. - TEL - Thèses en ligne Accéder directement au contenu
Thèse Année : 2015

Derivation of non linear Schrödinger equations in a infinite dimensional space by the characteristics theory.

Dérivation des équations de Schrödinger non linéaires par une méthode des caractéristiques en dimension infinie.

Quentin Liard
  • Fonction : Auteur
  • PersonId : 776806
  • IdRef : 193614618

Résumé

In this thesis, we shall prove the mean field approximation in a general framework for bosons. The derivation of mean field dynamics is known for some specific quantum states. Therefore it is natural to expect the extension to a general family of normal states. The usual model is the multi-body Hamiltonian associated to the Schrödinger equation. The mean dynamics for bosons consists in replacing the multi-body problem by a non linear one, so-called Hartree problem, when the number of particles tends to infinity. We will establish a general result for bosons, confined or not, interacting through a singular potential. The method used is based on Wigner measures associated to a family of normal states in a separable infinite dimensional Hilbert space. Indeed, these measures satisfy a transport equation (also called Liouville equations) in a weak sense. This equation shows the strong link between the asymptotics of the mean field dynamics and the Hartree dynamics. Our contribution consists in extending the characteristics theory when the velocity field associated to the Hartree equation is subcritical or critical. Subsequently, we shall prove existence and uniqueness to this Liouville equation. It will complete the work of Ammari and Nier and give a result for critical potentials for the Hartree equation. We will also focus on systems of bosons interacting through a multi-body potential and we shall prove the mean field approximation under a strong compactness assumption on this potential. All these results essentially rely on the flexibility of Wigner measures and we can give an alternative proof of the variational mean field approximation.
Dans cette thèse, nous aborderons l'approximation de champ moyen dans un cadre général pour des particules bosoniques. Pour un certain nombre d'états quantiques, la dérivation de la limite de champ moyen est connue, et il semble naturel d'étendre ces résultats au cadre général d'états quantiques quelconques. Notre modèle est l'Hamiltonien à n corps associé à l'équation de Schrödinger. La dynamique de champ moyen consiste à remplacer le problème à n corps par un problème non linéaire, dit de Hartree, quand le nombre de particules est grand. Nous prouverons un résultat général dans le cadre de particules, confinées ou non, interagissant au travers d'un potentiel singulier. La méthode utilisée repose sur les mesures de Wigner associées à des états quantiques normalisés dans un espace de Hilbert séparable en dimension infinie. En effet, ces dernières satisfont, dans le cadre de la dynamique de champ moyen, une équation de transport (ou de Liouville) dans un sens faible. Cette équation met en perspective l'asymptotique du champ moyen et les équations de Hartree. Notre contribution consiste en l'extension de la méthode des caractéristiques au cadre de champ de vitesse singulier associé à l'équation de Hartree, en dimension infinie. Ainsi, nous établirons l'existence et l'unicité de cette équation de Liouville. Cela complétera le travail d'Ammari et Nier et permettra également de prouver des résultats pour des potentiels critiques pour les équations de Hartree. On s'intéressera également à un système de bosons interagissant au travers d'un potentiel à plusieurs corps et nous démontrerons l'approximation de champ moyen sous une hypothèse de compacité forte sur ce dernier. Les résultats s’appuient en grande partie sur la flexibilité des mesures de Wigner, ce qui permet également de proposer une preuve alternative à l'approximation de champ moyen dans un cadre variationnel.
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Dates et versions

tel-01269730 , version 1 (05-02-2016)
tel-01269730 , version 2 (13-06-2016)

Identifiants

  • HAL Id : tel-01269730 , version 1

Citer

Quentin Liard. Dérivation des équations de Schrödinger non linéaires par une méthode des caractéristiques en dimension infinie.. Equations aux dérivées partielles [math.AP]. Universite Rennes 1, 2015. Français. ⟨NNT : ⟩. ⟨tel-01269730v1⟩

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