Points entiers et rationnels sur des courbes et variétés modulaires de dimension supérieure

Integral and rational points on modular curves and varieties

Samuel Le Fourn (1)

1 Équipe Théorie des Nombres

This thesis concerns the study of integral and rational points on some modular curves and varieties. After a brief introduction which describes the motivation and the setting of this topic as well as the main results of this thesis, the manuscript follows a threefold development. The first chapter focuses on $\mathbb{Q}$-curves, and on the morphisms $\operatorname{Gal}(\overline{\mathbb{Q}} / \mathbb{Q}) \rightarrow \operatorname{PGL}_2(\mathbb{F}_p)$ that we can build with a $\mathbb{Q}$-curve for every prime $p$. We prove that, under good hypotheses, for $p$ large enough with respect to the discriminant of the definition field of the $\mathbb{Q}$-curve, such a morphism is surjective, which solves a particular case of Serre's uniformity problem (still open in general). The main tools of the chapter are Mazur's method (based here on results of Ellenberg), Runge's method, and isogeny theorems, following the strategy of Bilu and Parent. The second chapter covers analytic estimates of weighted sums of $L$-function values of modular forms, in the fashion of techniques designed by Duke and Ellenberg. The initial goal of such a result is the application of Mazur's method in the first chapter. The third chapter is devoted to the search for generalisations of Runge's method for higher-dimensional varieties. Here we prove anew a result of Levin inspired by this method, before proving an enhanced version called \og tubular Runge \fg{}, more generally applicable. In the perspective of studying integral points of modular varieties, we finally give an example of application of this theorem to the reduction of an abelian surface in a product of elliptic curves.

Cette thèse porte sur l'étude des points entiers et rationnels de certaines courbes et variétés modulaires. Après une brève introduction décrivant les motivations et le cadre de ce genre d'études ainsi que les résultats principaux de la thèse, le manuscrit se divise en trois parties. Le premier chapitre s'intéresse aux $\mathbb{Q}$-courbes, et aux morphismes $\operatorname{Gal}(\overline{\mathbb{Q}} / \mathbb{Q}) \rightarrow \operatorname{PGL}_2(\mathbb{F}_p)$ qu'on peut leur associer pour tout $p$ premier. Nous montrons que sous de bonnes hypothèses, pour $p$ assez grand par rapport au discriminant du corps de définition de la $\mathbb{Q}$-courbe, ce morphisme est surjectif, ce qui résout un cas particulier du problème d'uniformité de Serre (toujours ouvert en général). Les outils principaux du chapitre sont la méthode de Mazur (basée ici sur des résultats d'Ellenberg), la méthode de Runge et des théorèmes d'isogénie, suivant la structure de preuve de Bilu et Parent. Le second chapitre consiste en des estimations analytiques de sommes pondérées de valeurs de fonctions $L$ de formes modulaires, dans l'esprit de techniques développées par Duke et Ellenberg. La motivation de départ d'un tel résultat est l'application de la méthode de Mazur dans le premier chapitre. Le troisième chapitre est consacré à la recherche de généralisations de la méthode de Runge pour des variétés de dimension supérieure. Nous y redémontrons un résultat de Levin inspiré de cette méthode, avant d'en prouver une forme assouplie dite \og de Runge tubulaire \fg{}, plus largement applicable. Dans l'optique de recherche de points entiers de variétés modulaires, nous en donnons enfin un exemple d'utilisation à la réduction d'une surface abélienne en produit de courbes elliptiques.

Mots clés: Elliptic curves; modular curves; Galois representations; Serre's uniformity problem; Mazur's method; isogeny theorems; Petersson trace formula; Runge's method; Siegel modular varieties; theta functions

Mots clés: Courbes elliptiques; courbes modulaires; représentations galoisiennes; problème d' uniformité de Serre; méthode de Mazur; théorèmes d'isogénie; formule des traces de Petersson; méthode de Runge; variétés modulaires de Siegel; fonctions thêta

Domaines: Théorie des nombres [math.NT]

Samuel Le Fourn. Integral and rational points on modular curves and varieties. Théorie des nombres [math.NT]. Université de Bordeaux, 2015. Français. ⟨NNT : ⟩. ⟨tel-01249665v1⟩