On the spectrum of classical and twisted exponents of Diophantine approximation
Sur le spectre des exposants d'approximation diophantienne classiques et pondérés
Résumé
Given $n$ real numbers $\boldsymbol{\theta}=(\theta_1, \theta_2, \ldots , \theta_n)$ seen as a point $[1:\theta_1 : \theta_2 : \ldots : \theta_n]$ from the projective space $\mathbb{P}^n(\mathbb{R})$, we can define different exponents of Diophantine approximaiton mesuring the quality of the approximation by rational subspace of $\mathbb{P}^n(\mathbb{R})$. More precisly, for any $0\leq d\leq n-1$ we define two exponents $\omega_d(\boldsymbol{\theta})$ (ordinary) and $\hat{\omega}_d(\boldsymbol{\theta})$ (uniforme) mesuring the approximation of $\boldsymbol{\theta}$ by rationnal subspaces of $\mathbb{P}^n(\mathbb{R})$ with dimension $d$ in terms of their height. These $2n$ exponents $\omega_0(\boldsymbol{\theta}), \omega_1(\boldsymbol{\theta}), \ldots , \omega_{n-1}(\boldsymbol{\theta}), \hat{\omega}_0(\boldsymbol{\theta}), \ldots , \hat{\omega}_{n-1}(\boldsymbol{\theta})$ are not independant.\\
This thesis is part of the study from the spectrum of all or part of these exponents, which have been much studied recently. In particular, Laurent established the spectrum of the 4 exponents when $n=2$ -the problem is still open for $n \geq 3$; Schmidt and Summerer then Roy develloped a new tool through the parametric geometry of numbers.
First, we use ideas of Laurent to get, when $n=2$, partial results on the spectrum of $4$ twisted exponents , variation from the classical exponents. We show in particular by constructing a set of points that Jarník's relation $\hat{\omega}_0(\boldsymbol{\theta}) + 1/ \hat{\omega}_1(\boldsymbol{\theta})=1$ between both uniform exponents does not hold for any uniform twisted exponents.\\
Then, we use the parametric geometry of numbers to study the spectrum of clasical exponents in higher dimension. In particular, we give a new proof of Laurent's result when $n=2$, and establish that German's inequalities when $n\geq2$ \[ \frac{\hat{\omega}_{n-1}(\boldsymbol{\theta}) -1 }{ (n-1) \hat{\omega}_{n-1} (\boldsymbol{\theta}) } \leq \hat{\omega}_0 (\boldsymbol{\theta}) \leq \frac{ \hat{\omega}_{n-1} (\boldsymbol{\theta}) -n+1}{ \hat{\omega}_{n-1}(\boldsymbol{\theta})}\] are best possible, and thus describe the spectrum of $\hat{\omega}_0$ and $\hat{\omega}_{n-1}$.
Pour un $n$-uplet de nombres réels $\boldsymbol{\theta}=(\theta_1, \theta_2, \ldots , \theta_n)$ vu comme un point $[1:\theta_1 : \theta_2 : \ldots : \theta_n]$ de l'espace projectif $\mathbb{P}^n(\mathbb{R})$, on peut définir divers exposants d'approximation diophantienne mesurant la qualité de l'approximation par des sous-espaces rationnels de $\mathbb{P}^n(\mathbb{R})$. Plus précisément, pour chaque $0\leq d\leq n-1$ on d\’efinit deux exposants $\omega_d(\boldsymbol{\theta})$ (ordinaire) et $\hat{\omega}_d(\boldsymbol{\theta})$ (uniforme) qui mesurent l'approximation de $\boldsymbol{\theta}$ par des sous-espaces rationnels de $\mathbb{P}^n(\mathbb{R})$ de dimension $d$ en fonction de la hauteur de ces sous-espaces. Il se trouve que les $2n$ exposants $\omega_0(\boldsymbol{\theta}), \omega_1(\boldsymbol{\theta}), \ldots , \omega_{n-1}(\boldsymbol{\theta}), \hat{\omega}_0(\boldsymbol{\theta}), \ldots , \hat{\omega}_{n-1}(\boldsymbol{\theta})$ ne sont pas indépendants les uns des autres.\\
Cette thèse s'inscrit dans l'étude du spectre de tout ou partie de ces exposants, qui a fait l'objet de nombreux travaux récents. Notamment, Laurent a établi le spectre des 4 exposants pour $n=2$ -le problème reste ouvert pour $n \geq 3$; Schmidt et Summerer puis Roy ont développé un nouvel outil à travers la géométrie paramétrique des nombres.
Dans un premier temps, on s'inspire des idées de Laurent pour obtenir, lorsque $n=2$, des résultats partiels sur le spectre de $4$ exposants pondérés, variation des exposants classiques. On montre notamment par la construction d'un ensemble de points que la relation de Jarník $\hat{\omega}_0(\boldsymbol{\theta}) + 1/ \hat{\omega}_1(\boldsymbol{\theta})=1$ entre les deux exposants uniformes n'est plus valable pour les exposants pondérés uniformes.\\
Dans un second temps, on utilise la géométrie paramétrique des nombres pour s'attaquer au spectre des exposants classiques. Notamment, on retrouve le spectre lorsque $n=2$, puis on établit que l'encadrement obtenu par German pour $n\geq2$ quelconque \[ \frac{\hat{\omega}_{n-1}(\boldsymbol{\theta}) -1 }{ (n-1) \hat{\omega}_{n-1} (\boldsymbol{\theta}) } \leq \hat{\omega}_0 (\boldsymbol{\theta}) \leq \frac{ \hat{\omega}_{n-1} (\boldsymbol{\theta}) -n+1}{ \hat{\omega}_{n-1}(\boldsymbol{\theta})}\] est optimale et décrit donc le spectre de $\hat{\omega}_0$ et $\hat{\omega}_{n-1}$.