Géométrie combinatoire des fractions rationnelles

Résumé : Le but de cette thèse est d’étudier, à l’aide d’outils combinatoires simples, différentes structures géométriques construites à partir de l’action d’un polynôme ou d’une fraction rationnelle. Nous considérerons d’abord la structure de l'ensemble des solutions séparatrices d’un champ de vecteurs polynomial ou rationnel. Nous allons établir plusieurs modèles combinatoires de ces cartes planaires, ainsi qu’une formule fermée énumérant les différentes structures topologiques dans le cas polynomial. Puis nous parlerons de revêtements ramifiés de la sphère que nous modéliserons, via un objet combinatoire nommée carte équilibrée, à partir d’une idée originale de W.Thurston. Ce modèle nous permettra de démontrer (géométriquement) de nombreuses propriétés de ces objets, et d’offrir une nouvelle approche et de nouvelles perspectives au problème d’Hurwitz, qui reste encore aujourd’hui un problème ouvert. Et enfin nous aborderons le sujet de la dynamique holomorphe via les primitives majeures dont l’utilité est de permettre de paramétrer les systèmes dynamiques engendrés par l’itération de polynômes. Cette approche nous permettra de construire une bijection entre les suites de parking et les arbres de Cayley, ainsi que d’établir une formule fermée liée à l’énumération d’un certain type d’arbres relié à la fois aux primitives majeures et aux revêtements ramifiés polynomiaux.
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Thèse
Mathématiques générales [math.GM]. Université d'Angers, 2014. Français. 〈NNT : 2014ANGE0032〉
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Soumis le : jeudi 11 janvier 2018 - 09:49:18
Dernière modification le : lundi 5 février 2018 - 15:00:03

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Jérôme Tomasini. Géométrie combinatoire des fractions rationnelles. Mathématiques générales [math.GM]. Université d'Angers, 2014. Français. 〈NNT : 2014ANGE0032〉. 〈tel-01119845v2〉

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