Degenerate parabolic systems involved in fluid mechanics and medicine: mathematical and numerical analysis
Systèmes paraboliques dégénérés intervenant en mécanique des fluides et en médecine: analyse mathématique et numérique
Résumé
In this thesis, we are interested in the mathematical and numerical
analysis of nonlinear degenerate parabolic systems arising either
from modeling the chemotaxis process, or from modeling
compressible flows in porous media. The proposed chemotaxis
model (Keller-Segel model) is a model of population dynamics
describing the spatio-temporel evolution of the cell density and the
chemical concentration. For this model, we study the pattern
formation using the linear stability analysis as well as the principle of
Turing. Then, we propose a numerical scheme (CVFE scheme) for
an anisotropic Keller-Segel model. The construction of the scheme
is based on the use of each of the finite element scheme for the
diffusion term and the upwind finite volume scheme for the
convective term. We show that the scheme is consistent and
ensures the discrete maximum principle in the case where all the
transmissibility coefficients are nonnegative. Thereafter, over
general triangular meshes, we propose and analyze a nonlinear
CVFE scheme. This scheme is based on the use of the Godunov
flux function for the diffusion term, while the convective term is
approximated by parts using an upwind finite volume scheme and a
Godunov flux function. First, the upwind finite volume scheme
allows of having the discrete maximum principle. On the other hand,
the Godunov scheme ensures the boundedness of the discrete
solutions without restrictions on the mesh nor on the transmissibility
coefficients. Using this scheme, we realize some numerical
simulations to illustrate the effectiveness of the scheme. Finally, we
are interested in a degenerate parabolic equation containing
degenerate terms of order 0 and 1 and describing a
chemotaxis-fluid model or a displacement of compressible flows.
Classical weak formulation is often possible in the absence of
degenerate terms of order 0 and 1; while in the general case, we
obtain weak solutions in the sense of verifying a weighted
formulation. The definition of weak solutions is adapted to the
nature of the degeneracy of the dissipative terms.
Dans cette thèse, nous nous intéressons à l’analyse mathématique
et numérique des systèmes paraboliques non linéaires dégénérés
découlant, soit de la modélisation de la chimiotaxie, soit de la
modélisation des fluides compressibles. Le modèle de chimiotaxie
(Keller-Segel) proposé est un modèle de dynamique des
populations décrivant l’évolution spatio-temporelle de la densité
cellulaire et de la concentration chimiotactique. Pour ce modèle,
nous étudions la formation de patterns en utilisant l’analyse de
stabilité linéaire et le principe de Turing. Nous proposons ensuite un
schéma numérique CVFE pour un modèle anisotrope de
Keller-Segel. La construction de ce schéma est basée sur la
méthode des éléments finis pour le terme de diffusion et sur la
méthode des volumes finis classique pour le terme de convection.
Nous montrons que ce schéma assure le principe de maximum
discret et qu’il est consistent dans le cas où tous les coefficients de
transmissibilité sont positifs. Par la suite, sur des maillages
triangulaires généraux, nous proposons et analysons un schéma
numérique CVFE non linéaire. Ce schéma est basé sur l’utilisation
d’un flux numérique de Godunov pour le terme de diffusion, tandis
que le terme de convection est approché au moyen d’un décentrage
amont et d’un flux de Godunov. D’une part, le décentrage amont
permet d’avoir le principe de maximum. D’autre part, le flux de
Godunov assure que les solutions discrètes soient bornées sans
restriction sur le maillage du domaine spatial ni sur les coefficients
de transmissibilité. Nous réalisons différentes simulations
numériques bi-dimensionnelles pour illustrer l’efficacité du schéma
à tenir compte des hétérogénéités. Enfin, nous nous intéressons à
une équation parabolique dégénérée contenant des termes
dégénérés d’ordre 0 et 1 et décrivant un modèle de
chimiotaxie-fluide ou l’écoulement d’un fluide compressible. Une
formulation faible classique est souvent possible en absence des
termes dégénérés d’ordre 0 et 1 ; tandis que dans le cas général,
nous obtenons des solutions dans un sens affaibli vérifiant une
formulation de type inégalité variationnelle. La définition des
solutions faibles est adaptée à la nature de la dégénérescence des
termes de dissipation.
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