Systèmes d'équations différentielles linéaires singulièrement perturbées et développements asymptotiques combinés
Résumé
In this thesis we prove a theorem of uniform simplification for second order and singularly perturbed differential equations in a full neighborhood of a degenerate point, called a turning point. This is an analytic version of a formal result due to Hanson and Russell, which generalizes a well known theorem of Sibuya. To solve this problem we use the Gevrey composite asymptotic expansions introduced by Fruchard and Schäfke. In the first part we recall the main definitions and theorems of this recent theory. We establish three general results used in the second part of this thesis to prove the main theorem of analytic reduction. Finally we consider ordinary differential equations of order greater than two, which are singularly perturbed and have a turning point, and we prove a theorem of analytic reduction.
Dans ce travail nous démontrons un théorème de simplification uniforme concernant les équations différentielles ordinaires du second ordre singulièrement perturbées au voisinage d'un point dégénéré, appelé point tournant. Il s'agit d'une version analytique d'un résultat formel dû à Hanson et Russell, qui généralise un théorème connu de Sibuya. Pour traiter ce problème, nous utilisons les développements asymptotiques combinés Gevrey introduits par Fruchard et Schäfke. Dans une première partie nous rappelons les définitions et théorèmes principaux de cette récente théorie. Nous établissons trois résultats généraux que nous utilisons ensuite dans la seconde partie de ce manuscrit pour démontrer le théorème principal de réduction analytique annoncé. Enfin nous considérons des équations différentielles ordinaires d'ordre supérieur à deux, singulièrement perturbées à point tournant, et nous démontrons un théorème de réduction analytique.