Analytical properties of the space of convergent power series and glocal holomorphic dynamics

Propriétés analytiques de l'espace des séries entières convergentes et dynamiques holomorphes glocales

Loïc Jean Dit Teyssier (1)

1 IRMA - Institut de Recherche Mathématique Avancée

The memoir studies glocal holomorphic dynamics, those which are the (local) expression in a germ of a chart of a (global) holomorphic dynamics on a projective complex variety. We establish the existence of germs of a holomorphic foliation in the complex plane none of which are locally conjugate to an algebraic foliation. The proof relies on a Baire argument, replacing unspecified closed sets by proper analytical sets. The analyticity in use (for infinite dimensional spaces) is that of locally convex topologies on the differential algebra of germs of a holomorphic function. We also prove that the generic germ does not satisfy "reasonable" analytic relations. The memoir also discusses the "explicit" depiction of an example of non-glocal system. We present a computable method for the realization of saddle-node foliations, with prescribed Martinet-Ramis invariants. Producing an example thus reduces to characterizing Martinet-Ramis invariants of glocal foliations. A Hermite-Lindemann conjecture is presented in the context of holomorphic foliations. Finally the memoir presents a generalization of Marín-Matte's monodromy construction. This object is a local invariant for singular foliations in the complex plane. Here again we wish to obtain partial characterizations of monodromies attached to glocal foliations. The original hypothesis are weakened and examples are produced, showing the optimality of the new hypothesis.

Ce mémoire étudie les dynamiques holomorphes glocales, celles qui sont l'expression (locale) dans un germe de carte d'une dynamique holomorphe (globale) sur une variété projective complexe. On y établit l'existence de germes de feuilletages holomorphes du plan complexe qui ne sont localement conjugués à aucun feuilletage algébrique. Cette preuve repose sur un théorème de type Baire, dans lequel les unions dénombrables de fermés analytiques propres (ensembles analytiquement maigres) sont d'intérieur vide. La notion d'analyticité (en dimension infinie) utilisée est celle associée à des topologies localement convexes particulières sur l'algèbre différentielle des germes de fonctions holomorphes en un point. On en déduit par ailleurs que les germes holomorphes satisfaisant des relations analytiques "raisonnables" constituent un ensemble analytiquement maigre. Ce mémoire discute ensuite la description "explicite" d'un exemple de système non glocal. Une méthode calculable de réalisation de feuilletages nœuds-cols, d'invariants de Martinet-Ramis prescrits, est décrite. La production d'un exemple est donc ramenée à la caractérisation effective des invariants de Martinet-Ramis de feuilletages glocaux. Une conjecture de type Hermite-Lindemann, allant dans ce sens, est ensuite présentée. Enfin ce mémoire présente une généralisation de la construction de la monodromie de Marín-Mattei, cet objet étant un invariant local des feuilletages singuliers du plan complexe. On espère ici encore pouvoir obtenir des caractérisations partielles des monodromies de feuilletages glocaux. Les hypothèses permettant de réaliser la construction, portant sur le type de réduction de la singularité, sont affaiblies et des exemples montrant leur optimalité sont présentés.

Mots clés: holomorphic dynamical systems; infinite-dimensional holomorphy; topology of foliations; normal forms of vector fields

Mots clés: systèmes dynamiques holomorphes; holomorphie en dimension infinie; topologie des feuilletages; formes normales de champs de vecteurs

Domaines: Géométrie différentielle [math.DG]; Analyse fonctionnelle [math.FA]; Systèmes dynamiques [math.DS]

Loïc Jean Dit Teyssier. Propriétés analytiques de l'espace des séries entières convergentes et dynamiques holomorphes glocales. Géométrie différentielle [math.DG]. Université de Strasbourg, 2013. ⟨tel-00905353v1⟩