Weakly enriched categories over a symmetric monoidal category
Catégories faiblement enrichies sur une catégorie monoïdale symétrique
Résumé
In this thesis we develop a theory of weakly enriched categories . By 'weakly' we mean an enriched category where the composition is not strictly associative but associative up-to-homotopy. We introduce the notion of Segal enriched categories and of co-Segal categories . The two notions give rise to higher categorical structures. One of the motivations of this work was to provide an alternative notion of higher linear categories, which are known by the experts to be important in both commutative and noncommutative algebraic geometry. The first part of the thesis is about Segal enriched categories. We define such an enriched category as a (colax) morphism of 2-categories satisfying the so called Segal conditions . Our definition is deeply inspired by the notion of up-to-homotopy monoid introduced by Leinster. These weak monoids correspond precisely to Segal enriched categories having a single object. Our work here was to generalize Leinster's work by giving the many object form of his definition. We show that our formalism cover the definition of classical Segal categories and generalizes Leinster's definition. Furthermore we give a definition of Segal DG-category. The theory of enriched categories started with enrichment over a monoidal category. Then the theory was generalized to enrichment over a 2-category, notably by the Australian school. Our formalism generalizes naturally this idea of enrichment over a 2-category by bringing homotopy enrichment at this level. The main results of this work are in the second part of the thesis which is about co-Segal categories. The origin of this notion comes from the fact that Segal enriched categories are not easy to manipulate for homotopy theory purposes. In fact when trying to have a model structure on them, it seems important to require an extra hypothesis that can be too restrictive. We define a co-Segal category as a (lax) morphism of 2-categories satisfying the co-Segal conditions . The idea was to 'reverse' everything of the Segal case i.e from colax to lax, hence the terminology 'co-Segal'. These new structures are much easier to study and to have a homotopy theory of them. The main theorem is the existence of a Quillen model structure on the category of co-Segal precategories; with the property that fibrant objects are co-Segal categories. This model structure is a Bousfield localisation of a preexisting one and lies on techniques which go back to Jardine and Joyal.
Dans cette thèse nous développons une théorie de catégories faiblement enrichies . Par 'faiblement' on comprendra ici une catégorie dont la composition de morphismes est associative à homotopie près; à l'inverse d'une catégorie enrichie classique où la composition est strictement associative. Il s'agit donc de notions qui apparaissent dans un contexte homotopique. Nous donnons une notion de catégorie enrichie de Segal et une notion de catégorie enrichie co-Segal; chacune de ces notions donnant lieu à une structure de catégorie supérieure. L'une des motivations de ce travail était de fournir une théorie de catégories linéaires supérieures, connues pour leur importance dans des différents domaines des mathématiques, notamment dans les géométries algébriques commutative et non-commutative. La première partie de la thèse est consacrée à la notion de catégorie enrichie de Segal. Nous définissons une telle catégorie enrichie comme morphisme (colax) de 2-catégories satisfaisant certaines conditions dites conditions de Segal . Le fil rouge de notre démarche est la définition de monoïde à homotopie près donnée par Leinster. Les monoïdes de Leinster correspondent précisément aux catégories enrichies de Segal avec un seul objet; ici on suit la coutume en théorie des catégories qui consiste à identifier un monoïde avec l'espace des endomorphismes d'un objet. Notre contribution ici est donc une généralisation des travaux de Leinster. Nous montrons comment notre formalisme couvre le cas des catégories de Segal classique, les monoïdes de Leinster et surtout apporte une définition de DG-catégorie de Segal. Les catégories enrichies 'classiques' sont des catégorie enrichies sur une catégorie monoïdale. L'École australienne a étudié la notion plus générale de catégorie enrichie lorsqu'on remplace 'monoïdale' par '2-catégorie'. Notre formalisme généralise de manière naturelle le cas australien en ajoutant de l'homotopie dans la 2-catégorie sur laquelle on enrichit. Les principaux résultats de la thèse sont dans la deuxième partie qui porte sur les catégories enrichies co-Segal. Nous avons introduit ces nouvelles structures lorsqu'on s'est aperçu que les catégories enrichies de Segal ne sont pas faciles à manipuler pour faire une théorie de l'homotopie. En effet il semble devoir imposer une condition supplémentaire qui est trop restrictive dans beaucoup de cas. Ces nouvelles catégories s'obtiennent en 'renversant' la situation du cas Segal, d'où le préfixe 'co' dans 'co-Segal'. Nous définissons une catégorie co-Segal comme morphisme (lax) de 2-catégories satisfaisant des conditions co-Segal . Ces structures se révèlent plus souples à manipuler et notamment pour faire de l'homotopie. Notre résultat principal est l'existence d'une structure de modèles au sens de Quillen sur la catégorie des précatégories co-Segal; avec comme particularité que les objets fibrants sont des catégories co-Segal. Cette structure de modèle s'obtient comme localisation de Bousfield et repose sur des méthodes initialement développées par Jardine et Joyal.