Vector extrapolation and applications to partial differential equations

Extrapolation vectorielle et applications aux équations aux dérivées partielles

Sébastien Duminil (1)

1 LMPA - Laboratoire de Mathématiques Pures et Appliquées Joseph Liouville

In this thesis, we study polynomial extrapolation methods. We discuss the design and implementation of these methods for computing solutions of fixed point methods. Extrapolation methods transform the original sequance into another sequence that converges to the same limit faster than the original one without having explicit knowledge of the sequence generator. Restarted methods permit to keep the storage requirement and the average of computational cost low. We apply these methods for computing steady state solutions of incompressible flow problems modelled by the Navier-Stokes equations, for solving the Schrödinger equation using the Kohn-Sham formulation and for solving elliptic equations using multigrid methods. In all cases, vector extrapolation methods have a useful role to play. We show that, when applied to linearly generated vector sequences, extrapolation methods are related to Krylov subspace methods. For example, we show that the MMPE approach is mathematically equivalent to CMRH method. We present an implementation of the CMRH iterative method suitable for parallel architectures with distributed memory. Finally, we present a preconditioned CMRH method.

Nous nous intéressons, dans cette thèse, à l'étude des méthodes d'extrapolation polynômiales et à l'application de ces méthodes dans l'accélération de méthodes de points fixes pour des problèmes donnés. L'avantage de ces méthodes d'extrapolation est qu'elles utilisent uniquement une suite de vecteurs qui n'est pas forcément convergente, ou qui converge très lentement pour créer une nouvelle suite pouvant admettreune convergence quadratique. Le développement de méthodes cycliques permet, deplus, de limiter le coût de calculs et de stockage. Nous appliquons ces méthodes à la résolution des équations de Navier-Stokes stationnaires et incompressibles, à la résolution de la formulation Kohn-Sham de l'équation de Schrödinger et à la résolution d'équations elliptiques utilisant des méthodes multigrilles. Dans tous les cas, l'efficacité des méthodes d'extrapolation a été montrée.Nous montrons que lorsqu'elles sont appliquées à la résolution de systèmes linéaires, les méthodes d'extrapolation sont comparables aux méthodes de sous espaces de Krylov. En particulier, nous montrons l'équivalence entre la méthode MMPE et CMRH. Nous nous intéressons enfin, à la parallélisation de la méthode CMRH sur des processeurs à mémoire distribuée et à la recherche de préconditionneurs efficaces pour cette même méthode.

Mots clés: Vector extrapolation; Reduced Rank Extrapolation; Minimal Polynomial Extrapolation; Modified Minimal Polynomial Extrapolation; Linear systems; Krylov method; CMRH; Parallel implementation; Preconditioned CMRH; Nonlinear systems; Navier-Stokes problem; Schrödinger equation; Multigrid method

Mots clés: Extrapolation vectorielle; RRE; MPE; MMPE; Systèmes linéaires; Méthodes de Krylov; CMRH; Implémentation parallèle; CMRH préconditionnée; Systèmes non linéaires; Équations de Navier-Stokes; Équations de Schrödinger; Méthodes multigrilles

Domaines: Mathématiques générales [math.GM]

Sébastien Duminil. Extrapolation vectorielle et applications aux équations aux dérivées partielles. Mathématiques générales [math.GM]. Université du Littoral Côte d'Opale, 2012. Français. ⟨NNT : 2012DUNK0336⟩. ⟨tel-00790115v2⟩