Martingales with specified marginals
Martingales avec marginales spécifies
Résumé
This thesis provides methods for constructing martingales with specified marginals. The first collection of methods proceeds by quantization. This means that a measure is approximated by another measure whose support consits in a finite number of points. We introduce a quantization method which preserves the convex order. The convex order is a partial order on the space of measures which compares measures in terms of their relative dispersion. This new quantization method has the advantage that if two measures admit a martingale transition, then the quantized measures admit a martingale transition as well. This is not the case for the commonly used quantization method, the L2 quantization. For the quantized measures we present several methods to construct martingale transitions. The first method proceeds by linear programming. The second method proceeds by constructing matrices with specified diagonal and spectrum. The third method uses the Chacon Walsh algorithm. In a second part this thesis presents a new solution to the Skorokhod embedding problem. In a third part, this thesis studies the construction of continuous time martingales with specified marginals. Constructions are given using the Brownian Sheet. Other constructions are given by modifying a method developed by Albin. Martingales constructed in such a way have a scaling property. In a final part we establish some consequences of this theory with regards to the management of the risk of Asian options, with respect to their sensitivity to volatility and maturity.
Cette thèse décrit des méthodes de construction de martingales avec marginales spécifiées. La première collection de méthodes procède par quantization. C'est-à-dire en approximant une mesure par une autre mesure dont le support consiste en un nombre fini de points. Nous introduisons une méthode de quantization qui préserve l'ordre convexe. L'ordre convexe est un ordre partiel sur l'espace des mesures qui les compare en termes de leur dispertion relative. Cette nouvelle méthode de quantization présente l'avantage que si deux mesures admettent une transition de martingale alors les mesures quantisées en admettent aussi. Ceci n'est pas le cas pour la méthode de quantization habituellement utilisée en probabilités (la méthode de quantization L2). Pour les mesures quantifiés nous présentons plusieurs méthodes de construction de transition de martingale. La première méthode procède par programmation linéaire. La deuxième méthode procède par construction de matrices avec diagonale et spectre données. La troisième méthode procède par l'algorithme de Chacon et Walsh. Dans une seconde partie la thèse présente une nouvelle solution au problème du plongement de Skorokhod. Dans une troisième partie la thèse étudie la construction de martingales à temps continu avec marginales données. Des constructions sont données à l'aide du draps Brownien. D'autres constructions sont données en modifiant une méthode développée par Albin, les martingales construites ainsi possèdent une propriété de scaling.. Dans une partie annexe, certaines conséquences de cette théorie concernant le management du risque des options asiatiques, par rapport à leur sensibilité à la volatilité et à la maturité sont établies.
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