Optimisation of numerical methods for plasma physics. Application to charged particles beams.
Optimisation de méthodes numériques pour la physique des plasmas. Application aux faisceaux de particules chargées.
Résumé
This thesis presents different numerical methods in order to simulate plasmas or charged particles beams with reduced cost. Movement of charged particles in an electromagnetic field is given by the Vlasov equation. This one is coupled to the Maxwell equations for the electromagnetic field, or to the Poisson equation in a more simple case. Several models exist for solving this system. In kinetic models, particles are represented by a distribution function f(x,v,t) verifying the Vlasov equation. In the general 3D case, 7 variables appear in the system and computations become heavy. Fluid models consider macroscopic quantities linked to f, such as density, mean velocity and temperature. These quantities only depend on position x and time t. The cost, but also the precision, are reduced. In the first part of this thesis, a multi-fluid method is used for solving the 1D Vlasov-Poisson system. It is based on the a priori knowledge of the shape of f. Two possibilities are studied: a sum of Dirac masses and the multi-water-bag model. This kind of methods is rather adapted to systems staying close to the equilibrium. The second part presents the decomposition of f between an equilibrium part and a perturbation. The equilibrium part is solved by a fluid method whereas we use a kinetic method for the perturbation. We construct an asymptotic preserving scheme for the Vlasov-Poisson-BGK system using such a decomposition. The third part deals with the Particle-In-Cell (PIC) method in 2D axisymmetric geometry. A work based on isogeometric analysis is presented, and then a PIC - Discontinuous Galerkin program computed on graphic card (GPU). This architecture reduces significantly calculation time.
Cette thèse propose différentes méthodes numériques permettant de simuler le comportement des plasmas ou des faisceaux de particules chargées à coût réduit. Le mouvement de particules chargées soumises à un champ électromagnétique est régi par l'équation de Vlasov. Celle-ci est couplée aux équations de Maxwell pour le champ électromagnétique ou à l'équation de Poisson dans un cas simplifié. Plusieurs types de modèles existent pour résoudre ce système. Dans les modèles cinétiques, les particules sont représentées par une fonction de distribution f(x,v,t) qui vérifie l'équation de Vlasov. Dans le cas général tridimensionnel (3D), le système fait apparaître 7 variables. Les calculs sur ordinateur deviennent rapidement très lourds. Les modèles fluides de plasma s'intéressent quant à eux à des quantités macroscopiques déduites de f par des intégrales en vitesse, telles que la densité, la vitesse moyenne et la température. Ces quantités ne dépendent que de la position x et du temps t. Le coût numérique est ainsi réduit, mais la précision s'en trouve altérée. Dans la première partie de cette thèse, une méthode multi-fluides est utilisée pour la résolution du système de Vlasov-Poisson 1D. Elle est basée sur la connaissance a priori de la forme prise par la fonction de distribution f. Deux possibilités sont étudiées : une somme de masse de Dirac et le modèle multi-water-bag. Ce type de méthodes est plutôt adapté aux systèmes restant proches de l'état d'équilibre. La deuxième partie propose de décomposer f en une partie d'équilibre et une perturbation. L'équilibre est résolu par une méthode fluide alors que la perturbation est résolue par une méthode cinétique. On construit notamment un schéma préservant l'asymptotique pour le système de Vlasov-Poisson-BGK, basé sur une telle décomposition. On étudie dans la troisième partie la méthode Particle-In-Cell (PIC) en géométrie 2D axisymétrique. Un travail basé sur l'analyse isogéométrique est présenté, ainsi qu'un code PIC - Galerkin Discontinu parallélisé sur carte graphique (GPU). Cette architecture permet de réduire de manière significative les temps de calculs.