Some problems related to the dynamics of the Gross-Pitaevskii and of the Landau-Lifshitz equation
Quelques problèmes liés à la dynamique des équations de Gross-Pitaevskii et de Landau-Lifshitz
Résumé
This thesis is devoted to the study of the Gross-Pitaevskii equation and the Landau-Lifshitz equation, which have important applications in physics. The Gross-Pitaevskii equation models phenomena of nonlinear optics, superfluidity and Bose-Einstein condensation, while the Landau-Lifshitz equation describes the dynamics of magnetization in ferromagnetic materials. When modeling matter at very low temperatures, it is usual to suppose that the interaction between particles is punctual. Then the classical Gross-Pitaevskii equation is derived by taking as interaction the Dirac delta function. However, different types of nonlocal potentials, probably more realistic, have also been proposed by physicists to model more general interactions. First, we will focus on provide sufficient conditions that cover a broad variety of nonlocal interactions and such that the associated Cauchy problem is globally well-posed with nonzero conditions at infinity. After that, we will study the traveling waves for this nonlocal model and we will provide conditions such that we can compute a range of speeds in which nonconstant finite energy solutions do not exist. Concerning the Landau-Lifshitz equation, we will also be interested in finite energy traveling waves. We will prove the nonexistence of nonconstant traveling waves with small energy in dimensions two, three and four, provided that the energy is less than the momentum in the two-dimensional case. In addition, we will also give, in the two-dimensional case, the description of a minimizing curve which could give a variational approach to build solutions of the Landau-Lifshitz equation. Finally, we describe the asymptotic behavior at infinity of the finite energy traveling waves.
Cette thèse est consacrée à l'étude des équations de Gross-Pitaevskii et de Landau-Lifshitz, qui présentent d'importantes applications en physique. L'équation de Gross-Pitaevskii modélise des phénomènes de l'optique non linéaire, de la superfluidité et de la condensation de Bose-Einstein, tandis que l'équation de Landau-Lifshitz décrit la dynamique de l'aimantation dans des matériaux ferromagnétiques. Lorsqu'on modélise la matière à très basse température, on fait l'hypothèse que l'interaction des particules est ponctuelle. L'équation de Gross-Pitaevskii classique s'en déduit alors en prenant comme interaction une masse de Dirac. Cependant, différents types de potentiels non locaux probablement plus réalistes ont aussi été proposés par des physiciens pour modéliser des interactions plus générales. Dans un premier temps, on s'intéressera à donner des conditions suffisantes couvrant une variété assez large d'interactions non locales et telles que le problème de Cauchy associé soit globalement bien posé avec des conditions non nulles à l'infini. Par la suite, on étudiera les ondes progressives de ce modèle non local et on donnera des conditions telles que l'on puisse déterminer les vitesses pour lesquelles il n'existe pas de solution non constante d'énergie finie. Concernant l'équation de Landau-Lifshitz, on s'intéressera aussi aux ondes progressives d'énergie finie. On montrera la non existence d'ondes progressives non constantes d'énergie petite en dimensions deux, trois et quatre, sous l'hypothèse que l'énergie soit inférieure au moment dans le cas de la dimension deux. En outre, on donnera aussi dans le cas bidimensionnel la description d'une courbe minimisante qui pourrait donner une approche variationnelle pour construire des solutions de l'équation de Landau-Lifshitz. Finalement, on décrira le comportement à l'infini des ondes progressives d'énergie finie.