Blow-up and global existence for some parabolic problems under dynamical boundary conditions
Phénomène d'explosion et existence globale pour quelques problèmes paraboliques sous les conditions au bord dynamiques
Résumé
This thesis deals with some nonlinear parabolic problems under the dynamical boundary conditions. We first consider the Burgers' Equation is a bounded domain of the real line. We study the properties of the solutions of this equation when we impose the dynamical boundary conditions and when the initial data is positive. Using the comparison methods, we investigate the growth order and the blow-up set of regular solutions, thanks to the study of their profile. Then, we study the stationary solutions of Burgers' Equation, in which we add a parameter lambda. With a phaseplane method, we prove the existence of stationary solutions under the Dirichlet and the Neumann boundary conditions. Moving the parameter lambda, we observe a bifurcation is the phase plane, which deeply influences the existence results for the stationary solutions of Burgers' Equation for the considered boundary conditions. Dealing with appropriate L-1 norms, we show some results on the blowing-up of the non-stationary solutions of the generalized Burgers' Equation in an unbounded real domain. Finally, we study the Fujita phenomenon. With the comparison methods, we show that the Fujita phenomenon, well-known for the Dirichlet boundary conditions, remains true under the dynamical boundary conditions. Adapting our technique, we also prove that the Fujita phenomenon is still satisfied under the Robin boundary conditions.
Cette thèse porte sur l'étude de plusieurs problèmes paraboliques non-linéaires sous les conditions au bord dynamiques. Premièrement, on considère l'équation de Burgers dans un domaine borné réel. On étudie les propriétés des solutions de cette équation lorsqu'on impose des conditions dynamiques sur le bord et lorsque la donnée initiale est positive. En utilisant des méthodes de comparaison, on s'intéresse à l'ordre de croissance et au point d'explosion des solutions régulières via une étude du profil de la solution. Ensuite, on étudie les solutions stationnaires de l'équation de Burgers, dans laquelle on ajoute un paramètre lambda. A l'aide d'une méthode de plan des phases, on démontre l'existence de solutions stationnaires sous différentes conditions au bord (Dirichlet et Neumann). Nous observons qu'en faisant varier le paramètre lambda, on provoque une bifurcation dans le plan des phases, ce qui se traduit de profonds changements dans les résultats d'existence des solutions stationnaires de l'équation de Burgers paramétrée sous les diverses conditions au bord considérées. Par le biais d'une technique basée sur l'étude de norme L-1 adéquates, nous démontrons des résultats d'explosion pour les solutions non-stationnaires de l'équation de Burgers paramétrée lorsque l'on se place dans un domaine réel non-borné. Finalement, on étudie le phénomène de Fujita. A l'aide des méthodes de comparaison, on montre que le phénomène de Fujita, connu dans le cas des conditions de Dirichlet et de Neumann, reste vrai sous les conditions au bord dynamiques. Adaptant notre technique, on prouve que ce phénomène est également vrai sous les conditions au bord de Robin.