Numerical simulation of polymer flows
Simulation numérique des écoulements de liquides polymères
Résumé
There exist few commercial codes for the simulation of polymer flows. The difficulties stem from the intrinsec properties of polymers which are viscoelastic non-Newtonian. This implies a coupling between the viscoelasticity of the liquid and the flow, quantified by the Weissenberg number. The source of the problem is the breakdown in the convergence of the algorithms at critical values of this number. This work is devoted to the development of robust numerical schemes for the simulation of polymer flows, mainly considering the Giesekus model. We have first focused on the Stokes problem and we proposed a discontinuous Galerkin method less expensive and more robust than the classical Interior Penalty method. We carried out an a priori and a posteriori error analysis and we highlighted the connections between our dG method and nonconforming finite elements. Then, we have considered the three-fields Giesekus model. The velocity and the pressure are approximated by nonconforming finite elements, whereas the stress tensor is treated by discontinuous finite elements and an upwinding scheme of Lesaint-Raviart type. The analysis for triangular and quadrilateral meshes has been performed for the underlying Stokes problem. All the schemes have been implemented in the C++ library Concha. Comparisons with experimental data have been carried out illustrating the good behaviour of the Giesekus model. Moreover, comparisons with the commercial code Polyflow and a semi-analytical solution have also been performed, validating our numerical schemes. We obtained realistic simulations for high Weissenberg numbers on typical benchmark problems such as flows past a cylinder, 4:1 and 4:1:4 contractions.
Il existe peu de codes commerciaux pour la simulation numérique des écoulements de liquides polymères. Les difficultés proviennent des propriétés intrinsèques des polymères, qui sont des fluides viscoélastiques non-newtoniens. Ceci implique un couplage entre la viscoélasticité du liquide et l'écoulement, couplage quantifié par le nombre de Weissenberg. D'un point de vue numérique, la source du problème est la perte de convergence des algorithmes lorsque ce nombre devient trop élevé. Cette thèse porte sur le développement de schémas numériques robustes pour la simulation de ces écoulements en considérant principalement le modèle de Giesekus. Nous nous sommes d'abord intéressés au problème de Stokes et nous avons fait l'étude d'une méthode de Galerkin discontinue moins coûteuse et plus robuste que la méthode "Interior Penalty" classique. Nous avons fait une analyse a priori et a posteriori et nous avons mis en évidence les relations entre cette méthode dG et les éléments finis non-conformes. Les résultats théoriques obtenus ont été validés numériquement. Par la suite, nous avons considéré le modèle à trois champs de Giesekus. La vitesse et la pression sont approchées par éléments finis non-conformes tandis que l'équation constitutive est traitée à l'aide d'éléments finis discontinus et d'un schéma décentré de type Lesaint-Raviart. L'analyse de ces schémas dans le cas quadrangulaire et triangulaire a été faite pour le problème de Stokes sous-jacent. Ces schémas ont ensuite été implémentés dans la librairie C++ Concha. Nous avons effectué des comparaisons avec des données expérimentales mettant en évidence le bon comportement du modèle de Giesekus mais aussi avec le code commercial Polyflow et une solution semi-analytique afin de valider nos schémas numériques. Nous avons obtenu des simulations réalistes pour des nombres de Weissenberg élevés sur des cas-tests populaires : écoulement autour d'un cylindre, contractions 4:1 et 4:1:4