Exotic options in exponential Lévy models
Options exotiques dans les modèles exponentiels de Lévy
Résumé
The purpose of this thesis is to study the pricing of exotic options in exponential Lévy models. In the first chapter we define Lévy processes, and present their properties. In the second chapter we first recall results on the existence and regularity of density of Lévy processes. For the supremum process of a Lévy process, we give sufficient conditions for existence and regularity of its probability density function (theorems 2.17, 2.19 and 2.23). In the third chapter we study the errors between the supremum of a continuous Lévy process and its discrete version. In the first part of the chapter, we focus on the L1 error (theorems 3.4, 3.8 and 3.11) using a reformulation of Spitzer's identity for Lévy processes (Proposition 3.2). In the second part, we extend the theorem of Asmussen Glynn Pitman to Lévy processes with finite activity and infinite variation (Theorem 3.14). The last part of this chapter examines the specific case of compound Poisson process (Theorem 3.15). In the fourth chapter we focus on the errors of approximation of small jumps of Lévy processes with infinite activity. The second part of the chapter is devoted to the study of the truncation of small jumps. In the third part we study the approximation of small jumps by a Brownian motion using Theorem 4.23, which results from the application of Skorokhod embedding theorem. In the last section, we compare the two approximation methods. In the fifth chapter we apply the results of previous chapters to the pricing of exotic options (barrier, lookback and Asian). We study first the asymptotic behavior of the errors due to discretization. We show that in the case of lookback and barrier options, corrections are possible. The main result for the correction of barrier options is Theorem 5.1. We also study the errors due to the approximation of small jumps. In the last part of this chapter, using Theorem 5.60 and Lemma 5.61 (which is a consequence of Theorem 2.23), we evaluate lookback and digital barrier options (continuous) by semi-closed formulas, assuming that there is no positive jump. Finally, in the sixth chapter we propose Monte Carlo methods to price some exotic options. In the finite activity case, we apply corrections obtained in the fifth chapter, and we use variance reduction techniques. In the infinite activity case, we propose one method to price these options. In the case of Asian options, we provide simple formulas to price these options when the original Lévy process has no Brownian part.
L'objet de cette thèse est l'étude de la valorisation des options exotiques dans les modèles exponentiels de Lévy. Dans le premier chapitre nous définissons les processus de Lévy, et nous présentons leurs différentes propriétés. Dans le deuxième chapitre nous rappelons d'abord les résultats sur l'existence et la régularité de densité des processus de Lévy. Pour le processus supremum d'un processus de Lévy, nous donnons des conditions suffisantes pour l'existence et la régularité de densité (théorèmes 2.17, 2.19 et 2.23). Dans le troisième chapitre nous étudions les erreurs entre le supremum continu d'un processus de Lévy et sa version discrète. Dans la première partie du chapitre, nous nous intéressons à l'erreur L1 (théorèmes 3.4, 3.8 et 3.11) en utilisant une reformulation de l'identité de Spitzer pour les processus de Lévy (proposition 3.2). Dans la deuxième partie, nous étendons le théorème d'Asmussen-Glynn-Pitman aux processus de Lévy à activité finie et à variation infinie (théorème 3.14). La dernière partie de ce chapitre étudie le cas particulier des processus de Poisson composé(théorème 3.15). Dans le quatrième chapitre nous nous intéressons aux erreurs d'approximation des petits sauts des processus de Lévy à activité infinie. La deuxième partie du chapitre est consacrée à l'étude de la troncation des petits sauts. Dans la troisième partie nous étudions l'approximation des petits sauts par un mouvement Brownien en utilisant le théorème 4.23, qui résulte de l'application du théorème de plongement de Skorokhod. Dans la dernière partie, nous comparons les deux méthodes d'approximation des petits sauts. Dans le cinquième chapitre nous appliquons les résultats des chapitres précédents à la valorisation des options exotiques (barrière, lookback et asiatique). Nous étudions d'abord le comportements asymptotique des erreurs dues à la discrétisation. Nous montrons que, dans les cas des options lookback et barrière, des corrections sont possibles. Le résultat principal permettant la correction des options à barrière est le théorème 5.1. Nous étudions également les erreurs dues à l'approximation des petits sauts. Dans la dernière partie de ce chapitre, en utilisant le théorème 5.60 et le lemme 5.61 (qui est une conséquence du théorème 2.23), nous évaluons les options lookback et barrière digitale (continues) par des formules semi-fermées, sous l'hypothèse d'absence de saut positif. Enfin, dans le sixième chapitre nous proposons des méthodes de Monte-Carlo pour calculer les prix de certaines options exotiques. Dans le cas activité finie, nous appliquons les corrections obtenues dans le cinquième chapitre, et nous utilisons des techniques de réduction de variance. Dans le cas activité infinie, nous proposons une méthode pour calculer les prix de ces options de façon approchée. Dans le cas des options asiatiques, nous donnons des formules simples qui permettent de simuler ces options lorsque le processus de Lévy initiale n'a pas de partie Brownienne.