Projective Thompson groups of genus 0
Groupes de Thompson projectifs de genre 0
Résumé
The Thompson projective group $T$ is the set of piecewise projective homeomorphisms of $\partial (\bf H)$ with rational breakpoints. For $\Gamma$ a subgroup of $PSL_2((\bf Z))$ we can consider the subgroup $T_(\Gamma)$ of $T$ of piecewise $\Gamma$ homeomorphisms, and we ask if the fundamental property of $T$ of being finitely generated is preserved. It depends on the genus of the associated surface. The main goal of our work is to prove that, when the genus is 0, $T_(\Gamma)$ is finitely presented (Peter Greenberg proved that when the genus is strictly positive, $T_(\Gamma)$ is not finitely generated). We start by proving that $T_(\Gamma)$ is conjugated to a group generated by two classical Thompson affine groups. Then we give a combinatorial description of $T_(\Gamma)$ with couples of infinite forests, and that permits us to find an infinite regular presentation of the group, and then a finite one.
Le groupe de Thompson projectif $T$ est l'ensemble des homéomorphismes du bord du disque hyperbolique qui sont $PSL_2((\bf Z))$ par morceaux avec points de rupture rationnels. Pour un sous-groupe $\Gamma$ de $PSL_2((\bf Z))$ on peut construire le sous-groupe $T_(\Gamma)$ de $T$ des homéomorphismes $\Gamma$ par morceaux, et on se demande si la propriété fondamentale de $T$ d'être de type fini est conservée. Cette étude dépend du genre de la surface associée à $\Gamma$. Le but principal de notre travail est de prouver qu'en genre nul, $T_(\Gamma)$ est de présentation finie (Peter Greenberg a montré qu'en genre strictement positif $T_(\Gamma)$ n'est pas de type fini). Nous commençons par conjuguer $T_(\Gamma)$ à un groupe d'homéomorphismes affines par morceaux dont nous prouvons, à l'aide de groupes de Thompson classiques, qu'il est de type fini. Puis nous donnons une description combinatoire de $T_(\Gamma)$ par des couples de forêts infinies, description qui nous permet de déterminer une présentation infinie régulière du groupe, puis une présentation finie.
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