Formal reduction and integration of systems of nonlinear differential equations
Réduction et intégration symbolique des systèmes d'équations différentielles non-linéaires
Résumé
This thesis deals with symbolic integration and reduction of systems of autonomous nonlinear ordinary differential equations. The systems are studied locally in the neighbourhood of a regular or a singular point. In order to integrate them the considered systems are reduced by transformations such as blowing-ups and power transformations and normal form constructions. These methods allow to locally integrate any 2-dimensional system and non-nilpotent 3-dimensional systems. For higher dimensional systems and nilpotent 3-dimensional systems some further algorithmic difficulties arise. They are due to the complex shape of the cones including the support of the considered system. These problems can be solved by using an extention of the Newton diagram.
Cette thèse traite de l'intégration et de la réduction symbolique des systèmes d'équations différentielles ordinaires non-linéaires autonomes. Ces systèmes sont étudiés localement au voisinage d'un point simple ou singulier. Pour réduire ces systèmes à une forme intégrable, nous utilisons des transformations telles que les transformations quasi-monomiales, les éclatements et des constructions de formes normales. Ces méthodes permettent d'intégrer tout système à deux dimensions et des systèmes non-nilpotents à trois dimensions. Pour les systèmes nilpotents en trois dimensions et les systèmes de dimension supérieure nous rencontrons de nouvelles difficultés. La forme des cônes contenant le support de tels systèmes peut être très compliquée et cela complique l'utilisation des algorithmes introduits précédemment. Nous proposons alors une autre approche, basée sur une extension du diagramme de Newton et permettant de résoudre ces systèmes.