Contributions à l'optimisation multicritère
Résumé
The aim of this work is to study multiobjective optimization problems with or without dynamics and the generalized Bolza problem and its applications. After having pointed out some concepts of nonsmooth analysis, we begin the first part of this thesis with the existence of Lagrange multipliers for multiobjective optimization problems in infinite dimension with a general preference. We introduce the regularity of preference and use calmness qualification condition we establish the existence of Karush-Kuhn-Tucker multipliers. This allows us to obtain Fritz-John multipliers in terms of the approximate subdifferential by Ioffe. Then we derive similar results when the preference is defined by a convex cone or by an utility function. The second part deals with generalized Bolza problem. We establish necessary optimality conditions in terms of limiting Fréchet subdifferential without convexity assumptions. This result enables us to obtain the results by Vinter-Zheng and Ioffe-Rockafellar and to establish maximum principle including a new Euler-Lagrange inclusion. We apply this last one to isoperimetric problems, to the general Ramsey model of economic growth and to a chemical engineering problem. Using the notion of preference of the first part and the results of the second part we establish in the third part necessary optimality conditions and Hamiltonian conditions to multiobjective dynamic optimization. We give similar results in the case of a preference defined by a convex cone or an utility function.
Le thème central de cette thèse est l'étude des problèmes d'optimisation multicritère avec ou sans dynamique ainsi que le problème général de Bolza et ses applications. Après avoir rappelé quelques concepts d'analyse non lisse, on étudie dans la première partie de cette thèse l'existence des multiplicateurs de Lagrange pour des problèmes d'optimisation multicritère en dimension infinie en termes d'une préférence générale. En introduisant la notion de la régularité d'une préférence et en utilisant la condition de qualification calme, on établit l'existence des multiplicateurs de Karush-Kuhn-Tucker. Ceci nous permet d'exhiber des multiplicateurs de Fritz-John en termes du sous-différentiel approché au sens de Ioffe. En conséquence on obtient des résultats similaires pour le cas d'une préférence définie par un cône convexe ou bien par une fonction d'utilité. On établit dans la deuxième partie des conditions nécessaires d'optimalité pour le problème général de Bolza en termes du sous différentiel Fréchet limite sans aucune hypothèse de convexité. Ce résultat nous permet de retrouver les résultats de Vinter-Zheng, Ioffe-Rockafellar et d'établir le principe du maximum avec une nouvelle inclusion d'Euler-Lagrange. On applique ce dernier aux problèmes isopérimetriques, au modèle général de croissance économique de Ramsey et à un problème de génie chimique. En utilisant la notion de préférence de la première partie et les résultats de la deuxième, on établit dans la troisième partie des conditions nécessaires d'optimalité et des conditions Hamiltoniennes d'un problème d'optimisation multicritère dynamique. Enfin on donne des résultats similaires pour le cas d'une préférence définie par un cône convexe ou une fonction d'utilité.