Arbres de contact des singularités quasi-ordinaires et graphes d'adjacence pour les 3-variétés réelles
Résumé
A germ of equidimensional and reduced analytic space is called quasi-ordinary if it admits a finite projection onto a smooth space, whose discriminant locus is a divisor with normal crossings. The subject of this work is the generalization to quasi-ordinary germs of the known relations between various invariants of germs of plane curves. In the first chapter we present a global view of the concept of approximate root of a polynomial. We insist on the applications to the study of germs of plane curves, and we show that for most of these applications, the more general concept of \textit(semi-roots) is sufficient. At the beginning of the second chapter we use toric geometry to construct a normalization of quasi-ordinary germs. For irreducible germs of dimension 2 and embedding dimension 3, we give an explicit algorithm of normalization and we associate them intrinsically a semigroup. We deduce then a new proof of the invariance of normalized characteristic exponents. The concept of semiroot is essential for our method. In the third chapter we give a theorem of structure for the derivative of a quasi-ordinary polynomial, when it is itself quasi-ordinary. This generalizes a known theorem on the structure of polar curves of germs of plane curves. In order to formulate it, we introduce the Eggers-Wall tree, which allows to factorize the comparable germs following their contact with the studied germ. In the last chapter we interpret topologically the Eggers-Wall tree and the factorization of comparable germs in the case of germs of plane curves. In order to do this, we prove a general theorem on the localization after isotopy of isolable and sedentary knots in compact, orientable and irreducible 3-manifolds whose boundaries contain only tori.
Un germe équidimensionnel réduit d'espace analytique est dit quasi-odinaire s'il admet une projection finie sur un espace lisse, dont le lieu discriminant est un diviseur à croisements normaux. Le thème de ce travail est la généralisation aux germes quasi-ordinaires de liens connus entre divers invariants des germes de courbes planes. Dans le premier chapitre nous présentons une vision d'ensemble du concept de racine approchée d'un polynôme. Nous insistons sur les applications à l'étude des germes de courbes planes, en montrant que pour la plupart de ces applications, le concept plus général de semi-racine est suffisant. Au début du deuxième chapitre nous utilisons la géométrie torique pour construire une normalisation des germes quasi-ordinaires. Pour les germes irréductibles, de dimension 2 et dimension de plongement 3, nous donnons un algorithme explicite de normalisation, puis nous leur associons de manière intrinsèque un semi-groupe. Nous en déduisons une nouvelle preuve de l'invariance des exposants caractéristiques normalisés. Le concept de semi-racine est essentiel dans notre démarche. Dans le troisième chapitre nous donnons un théorème de factorisation pour la dérivée d'un polynôme quasi-ordinaire, lorsque cette dérivée est elle-même quasi-ordinaire. Ceci généralise un théorème connu sur la structure des courbes polaires des germes de courbes planes. Pour le formuler, nous introduisons l'arbre d'Eggers-Wall, qui permet de factoriser les germes comparables en fonction de leur contact avec le germe étudié. Dans le dernier chapitre nous interprétons topologiquement l'arbre d'Eggers-Wall et la factorisation des germes comparables, dans le cas des germes de courbes planes. Pour cela, nous prouvons un théorème général sur la localisation à isotopie près des noeuds isolables et sédentaires dans les variétés compactes, orientables et irréductibles de dimension 3, dont le bord est formé uniquement de tores.
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