Sur les courbes intégrales du champ de gradient
Résumé
This work is devoted to the study of the trajectories of gradient vector fields of functions definable in an o-minimal structure. We focus on the behaviour of the integral curves in some neighbourhood of an atypical fiber.
The first chapter recalls some geometric properties of definable sets.
In the second chapter, we study a definable family of functions defined on open sets all contained in the same compact set. By the Cauchy-Crofton formula, we prove that the length of the gradient field trajectories of each function is bounded by some constant depending only on the dimension and the compact set. We then deduce an explicit bound in the case of a generic polynomial of given degree.
The third chapter is devoted to $C^1$ functions defined on non bounded open sets. We prove that the set of values at which the Malgrange condition fails (asymptotic critical values) is finite and contains the atypical values which are not critical values.
In the fourth chapter, we prove an embedding theorem from an arbitrary connected component of an asymptotic critical fiber in a connected component of a close typical fiber. This result, obtained from some Lojasiewicz type inequality at infinity, gives a better understanding on the changes of the topological types of the fibers of a definable function in a neighbourhood of an atypical value. In dimension two, we describe the set of points of a typical fiber at which passes a trajectory of the gradient field which does not reach the atypical level.
In the last chapter, we study some remarkable integral curves of the gradient field. We show that a curve on which the norm of the gradient is minimal on the levels is an integral curve of the gradient field if and only if it is a line. Such a result leads to ask the question of the finiteness of the gradient field separatrix in the polynomial case.
The first chapter recalls some geometric properties of definable sets.
In the second chapter, we study a definable family of functions defined on open sets all contained in the same compact set. By the Cauchy-Crofton formula, we prove that the length of the gradient field trajectories of each function is bounded by some constant depending only on the dimension and the compact set. We then deduce an explicit bound in the case of a generic polynomial of given degree.
The third chapter is devoted to $C^1$ functions defined on non bounded open sets. We prove that the set of values at which the Malgrange condition fails (asymptotic critical values) is finite and contains the atypical values which are not critical values.
In the fourth chapter, we prove an embedding theorem from an arbitrary connected component of an asymptotic critical fiber in a connected component of a close typical fiber. This result, obtained from some Lojasiewicz type inequality at infinity, gives a better understanding on the changes of the topological types of the fibers of a definable function in a neighbourhood of an atypical value. In dimension two, we describe the set of points of a typical fiber at which passes a trajectory of the gradient field which does not reach the atypical level.
In the last chapter, we study some remarkable integral curves of the gradient field. We show that a curve on which the norm of the gradient is minimal on the levels is an integral curve of the gradient field if and only if it is a line. Such a result leads to ask the question of the finiteness of the gradient field separatrix in the polynomial case.
L'objet de ce travail est l'étude des courbes intégrales du champ de gradient de fonctions définissables dans une structure o-minimale. On s'intéresse au comportement des courbes intégrales au voisinage d'une fibre atypique.
Le premier chapitre rappelle certaines propriétés géométriques des ensembles définissables dans une structure o-minimale.
Le deuxième chapitre s'attache à l'étude d'une famille définissable de fonctions définies sur des ouverts contenus dans un même compact. On montre grâce à la formule de Cauchy-Crofton que la longueur des courbes intégrales du champ de gradient de chaque fonction est majorée par une constante ne dépendant que de la dimension et du compact. On en déduit ensuite une borne explicite dans le cas d'un polynôme générique de degré fixé.
Le troisième chapitre est consacré aux fonctions $C^1$ définies sur des ouvert non bornés. On montre que l'ensemble des valeurs ne vérifiant pas la condition de Malgrange (valeurs critiques asymptotiques) est fini et contient les valeurs atypiques qui ne sont pas valeurs critiques.
On établit dans le quatrième chapitre un théorème de plongement d'une composante connexe arbitraire d'une fibre correspondant à la valeur critique asymptotique dans une composante connexe d'une fibre typique voisine. Ce résultat, obtenu par une inégalité du type Lojasiewicz à l'infini, permet de comprendre les changements de type topologiques des fibres d'une fonction définissable au voisinage d'une valeur atypique. En dimension deux, on décrit l'ensemble des points d'une fibre typique par lesquels passe une courbe intégrale du champ de gradient qui n'atteint pas le niveau atypique.
Enfin, le dernier chapitre étudie certaines courbes intégrales remarquables du champ de gradient. Une courbe réalisant le minimum de la norme du gradient sur les niveaux est une courbe intégrale du champ de gradient si et seulement si c'est une droite. Ce résultat conduit à s'interroger sur la finitude de séparatrices du champ de gradient d'une fonction polynomiale.
Le premier chapitre rappelle certaines propriétés géométriques des ensembles définissables dans une structure o-minimale.
Le deuxième chapitre s'attache à l'étude d'une famille définissable de fonctions définies sur des ouverts contenus dans un même compact. On montre grâce à la formule de Cauchy-Crofton que la longueur des courbes intégrales du champ de gradient de chaque fonction est majorée par une constante ne dépendant que de la dimension et du compact. On en déduit ensuite une borne explicite dans le cas d'un polynôme générique de degré fixé.
Le troisième chapitre est consacré aux fonctions $C^1$ définies sur des ouvert non bornés. On montre que l'ensemble des valeurs ne vérifiant pas la condition de Malgrange (valeurs critiques asymptotiques) est fini et contient les valeurs atypiques qui ne sont pas valeurs critiques.
On établit dans le quatrième chapitre un théorème de plongement d'une composante connexe arbitraire d'une fibre correspondant à la valeur critique asymptotique dans une composante connexe d'une fibre typique voisine. Ce résultat, obtenu par une inégalité du type Lojasiewicz à l'infini, permet de comprendre les changements de type topologiques des fibres d'une fonction définissable au voisinage d'une valeur atypique. En dimension deux, on décrit l'ensemble des points d'une fibre typique par lesquels passe une courbe intégrale du champ de gradient qui n'atteint pas le niveau atypique.
Enfin, le dernier chapitre étudie certaines courbes intégrales remarquables du champ de gradient. Une courbe réalisant le minimum de la norme du gradient sur les niveaux est une courbe intégrale du champ de gradient si et seulement si c'est une droite. Ce résultat conduit à s'interroger sur la finitude de séparatrices du champ de gradient d'une fonction polynomiale.
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