Dynamique et instabilités des filaments de spirales tridimensionnels dans les milieux excitables isotropes
Résumé
Excitable systems are characterized by the existence of a stable equilibrium point and by the fact that the return to equilibrium trajectories can be either simply exponential or long excursions in the phase space depending on the perturbation amplitude. Good approximations of excitable media are simplified reaction-diffusions systems with two variables. Typical examples of excitable media are the heart, the neural axons and the Belousov-Zhabotinsky reaction in gels. In such media the spiral and plane, excitation waves can be observed. This thesis is devoted to the numerical study of the dynamic of possibly twisted scroll waves (spiral waves stacked along a line) in excitable media. First the stationary states are computed using a Newton's method. Second the linear stability of those states is studied, using an iterative method. Then the restabilized states when they exist are determined via direct numerical simulations. The study of untwisted scroll waves shows two kinds of instabilities. The first one corresponds to a Hopf bifurcation and is due to the 3D destabilisation of the meander (periodic variation of the rotation radius of the spiral wave) mode. The restabilized states are studied in detail. the second one, that can be attributed to the destabilisation of the translation mode leads to a disordered state. The study of the influence of twist shows that beyond a critical value of twist, it leads to the destabilisation of the translation modes for finite values of the wavenumber. That instability is a Hopf bifurcation that converts the twist of the scroll wave into Writhe (geometric deformation of the filament). In simple cases the restabilized state is a simple helical filament whereas in more complicated cases, the restabilized state is a stationnary structure that can be seen as the sum of a few helices. An analogy with a twisted elastic rod is presented.
On caractérise les milieux excitables par le fait qu'ils présentent un point d'équilibre linéairement stable et qu'une perturbation finie peut entraîner une longue excursion dans l'espace des phases. Les comportements de tels milieux sont en général bien approchés par des modèles simplifiés de réaction-diffusion a deux variables. Des exemples de milieux excitables sont le coeur, les axones neuronaux et la réaction de Belousov-Zhabotinsky dans les gels. On peut y observer des ondes d'excitation planes et spirales. Ce mémoire est consacré à l'étude numérique de la dynamique des filaments (ondes spirales empilées le long du filament) d'ondes spirales, éventuellement twistés, dans les milieux excitables. Dans un premier temps on calcule les états stationnaires par une méthode de Newton, puis on étudie la stabilité linéaire de ces états vis à vis de perturbations modulées suivant l'axe du filament par une méthode itérative, enfin on détermine les états restabilisés, quand ils existent, à l'aide de simulations numériques directes. L'étude des filaments non twistés met en évidence deux instabilités distinctes. L'une due à la déstabilisation de la branche de méandre (modulation périodique du rayon de rotation de la spirale) aboutit à un état restabilisé que nous caractérisons précisément. Cette instabilité correspond à une bifurcation de Hopf. L'autre correspond à une déstabilisation des modes de translation et aboutit à un état désordonné. L'étude de l'influence du twist sur la dynamique des filaments de spirales montre que le twist induit une déstabilisation des modes de translation à nombre d'onde fini. Cette bifurcation de Hopf correspond à la transformation du twist imposé au filament en Writhe (déformation géométrique). Le filament prend, dans les cas simples, une forme hélicoïdale. Dans des cas plus compliqués il prend une forme invariante dans le temps qui est la somme de plusieurs hélices. Une analogie avec une tige élastique soumise à la torsion est présentée.